Für zwei reelle Zahlen a und b definieren wir die Abbildung fa,b : ℝ → ℝ, x ↦ ax + b.

Question

Aufgabe:

Für zwei reelle Zahlen a und b definieren wir die Abbildung
f_a,b : ℝ → ℝ, x ↦ ax + b.

(i) Zeigen Sie, dass die Verkettung von Abbildungen eine assoziative Verknüpfung auf der

Menge Agg(ℝ) := {f_a,b | a, b ∈ ℝ} definiert.

(ii) Finden Sie ein neutrales Element e ∈ Agg(ℝ) bezüglich der Verkettung von Abbildungen.

(iii) Auch auf der Menge Aff(ℝ) := {f_a,b | a, b ∈ ℝ mit a ≠ 0} definiert die Verkettung von                                                       Abbildungen eine assoziative Verknüpfung mit neutralem Element e (aus dem vorherigen                                               Aufgabenteil). Das dürfen Sie ab jetzt verwenden ohne es selbst zu begründen. Zeigen                                                             Sie, dass genau eines der beiden Tripel (Agg(ℝ), ◦, e) und (Aff(ℝ), ◦, e) eine Gruppe ist.

(iv) Ist das Tripel aus dem dritten Aufgabenteil, welches eine Gruppe ist, sogar eine abelsche Gruppe?

Problem/Ansatz:

sitze schon lange dran wäre super nett wenn mir jemand hilft.

Answer 1

Seien a,b,c,d,e,f ∈ ℝ.und g_a,b: ℝ → ℝ, x ↦ ax + b etc.

(i) Zeige (g_e,f o g_c,d )o g_a,b =   g_e,f o (g_c,d o g_a,b).

Also prüfe, dass für alle x ∈ ℝ  gilt

           (g_e,f o g_c,d )(ax+b)   = e(g_c,d o g_a,b)(x) + f

Beides ist gleich   e(c(ax+b)+d)+f.

(ii) neutrales Element f_1,0 .

(Agg(ℝ), ◦, e) keine Gruppe, da z.B. f_0,1 kein Inverses hat.

(Aff(ℝ), ◦, e) aber schon, weil f_1/a,-b/a das Inverse zu f_a,b ist

und für a≠0 existiert das ja in Aff(ℝ).

Gruppe nicht abelsch, wie z.B f_1,3 und f_2,5 zeigen.