Kern einer Abbildung so korrekt?

Question

Ich habe hier folgende Aussage aus meinem Skript:

Wir betrachten den Ringhomomorphismus

\(\sigma: \mathbb{R}[X] \rightarrow \mathbb{C}, f \mapsto \sigma(f):=f(\mathbf{i})\)
Da \( \sigma(a+b x)=a+b \mathbf{i} \) ist \( \sigma \) surjektiv. Um zu zeigen, dass Ker \( \sigma=\left(x^{2}+1\right) \), teilen wir jedes \( f \) mit Rest durch \( x^{2}+1 \):
\(f=\left(x^{2}+1\right) \cdot q+r \quad \text { mit deg } r \leq 1, \quad \text { also } r=a+b x \text { mit } a, b \in R .\)
Wegen \( \mathbf{i}^{2}+1=0 \) ist \( f(\mathbf{i})=r(\mathbf{i})=a+b \mathbf{i} \). Da \( r(\mathbf{i})=0 \) äquivalent ist zu \( r=0 \) folgt
\(\sigma(f)=0 \Leftrightarrow f=\left(x^{2}+1\right) q\)

Warum ist der Ker \( \sigma=\left(x^{2}+1\right) \), obwohl doch in der letzten Zeile steht, dass \(\sigma(f)=0 \Leftrightarrow f=\left(x^{2}+1\right) q\), müsste nicht dann Ker \( \sigma=\left(x^{2}+1\right)q \) sein?

Answer 1

Was soll denn (x^2 +1) heißen ?

Das von x^2+1 erzeugte Ideal ?

Das ist doch gerade { \(\left(x^{2}+1\right) q  | q \in ℝ[x]  \)}