a)
$$ Sei \quad y \in f(A \cup B) \quad also \quad exisitert \quad x \in A \cup B \quad mit \quad f(x)=y$$
$$\Leftrightarrow (x \in A \quad mit \quad f(x)=y) \lor (x \in B \quad mit \quad f(x)=y)$$
$$\Leftrightarrow (y \in f(A)) \lor (y \in f(B)) \Leftrightarrow y \in f(A) \cup f(B)$$
b)
$$Sei \quad A=\{1,3\}; B=\{-1,3\}; f(x)=x^2$$
$$ Dann \quad gilt \quad A \cap B =3 \quad also \quad f(A \cap B)=f(3)=9$$
$$Aber \quad f(A)=\{1,9\}\quad f(B)=\{1,9\} \quad also \quad f(A) \cap f(B)=\{1,9\}$$
$$Damit \quad ist \quad f(A \cap B) \neq f(A) \cap f(B)$$
Anmerkung: Ist f injektiv dann folgt die Gleicheit.
c)
$$ Sei \quad x \in f^{-1}(M \cup N) \quad also \quad existiert \quad y \in M \cup N \quad mit \quad f^{-1}(y)=x$$
$$\Leftrightarrow (y \in M \quad mit \quad f^{-1}(y)=x) \lor (y \in N \quad mit \quad f^{-1}(y)=x)$$
$$\Leftrightarrow (x \in f^{-1}(M)) \lor (x \in f^{-1}(N)) \Leftrightarrow x \in f^{-1}(M) \cup f^{-1}(N)$$
d)
$$ Sei \quad x \in f^{-1}(M \cap N) \quad also \quad existiert \quad y \in M \cap N \quad mit \quad f^{-1}(y)=x$$
$$\Leftrightarrow (y \in M \quad mit \quad f^{-1}(y)=x) \land (y \in N \quad mit \quad f^{-1}(y)=x)$$
$$\Leftrightarrow (x \in f^{-1}(M)) \land (x \in f^{-1}(N)) \Leftrightarrow x \in f^{-1}(M) \cap f^{-1}(N)$$
LG
