Haupträume/ Verallgemeinerte Eigenräume

Question

Sei \( K \) ein algebraisch abgeschlossener Körper, \( V \) ein endlich erzeugter \( K \)-Vektorraum, \( f \in \operatorname{End}_{K}(V) \). Seien \( \lambda_{1}, \ldots, \lambda_{r} \in K \) die paarweise verschiedenen Eigenwerte von \( f \), wir schreiben
\( \chi_{f}(X)=\prod \limits_{i=}^{r}\left(\lambda_{i}-X\right)^{\ell_{i}} \quad \text { und } \quad \mu_{f}(X)=\prod \limits_{i=}^{r}\left(X-\lambda_{i}\right)^{k_{i}} \)
Für \( i \in\{1, \ldots, r\} \) sei der Untervektorraum \( H_{i} \) von \( V \) definiert durch
\( H_{i}=\operatorname{ker}\left(\left(f-\lambda_{i} \mathrm{id}_{V}\right)^{k_{i}}\right) \)
Zeigen Sie:
(a) Es gilt \( H_{i}=Q_{i}(f)(V) \) für \( Q_{i}(X)=\prod \limits_{\substack{j=1 \\ j \neq i}}^{r}\left(X-\lambda_{j}\right)^{k_{j}} \in K[X] \).
(b) Es gilt \( V=\bigoplus_{i=1}^{r} H_{i} \) und \( \operatorname{dim}\left(H_{i}\right)=\ell_{i} \) für alle \( i \in\{1, \ldots, r\} \).

I QR

Aufgabe:

Sei \( K \) ein algebraisch abgeschlossener Körper, \( V \) ein endlich erzeugter \( K \)-Vektorraum, \( f \in \operatorname{End}_{K}(V) \). Seien \( \lambda_{1}, \ldots, \lambda_{r} \in K \) die paarweise verschiedenen Eigenwerte von \( f \), wir schreiben
\(\chi_{f}(X)=\prod \limits_{i=1}^{r}\left(\lambda_{i}-X\right)^{\ell_{i}} \quad \text { und } \quad \mu_{f}(X)=\prod \limits_{i=1}^{r}\left(X-\lambda_{i}\right)^{k_{i}}\)
Für \( i \in\{1, \ldots, r\} \) sei der Untervektorraum \( H_{i} \) von \( V \) definiert durch
\(H_{i}=\operatorname{ker}\left(\left(f-\lambda_{i} \mathrm{id}_{V}\right)^{k_{i}}\right)\)
Zeigen Sie:
(a) Es gilt \( H_{i}=Q_{i}(f)(V) \) für \( Q_{i}(X)=\prod \limits_{\substack{j=1 \\ j \neq i}}^{r}\left(X-\lambda_{j}\right)^{k_{j}} \in K[X] \).
(b) Es gilt \( V=\bigoplus_{i=1}^{r} H_{i} \) und \(\operatorname{dim}\left(H_{i}\right)=\ell_{i} \) für alle \( i \in\{1, \ldots, r\} \).

Problem/Ansatz:

Komme hier leider nicht so ganz weiter. Ich tue mich sehr schwer damit zu verstehen, was überhaupt \(Q_{i}(f)(V) \) bedeutet. Ich Setze in ein Polynom meine Abbildung ein und werte das auf \(V\) aus oder wie kann man das verstehen. Danke für jede Hilfe!

Answer 1

Genau, \( Q_{ i} ( f)( V)  \) ist das Bild von \( V\) unter \( Q _{ i} ( f) \), wenn du also die Abbildungsmatrix \( \mathbf{A}\) von \( f\) in das Produkt einsetzt.

a) Hier mal die einfachere Inklusion, damit du ein Gefühl für die Aufgabe bekommst: \( Q _{ i} ( f)( V)  \subset H _{ i}  \) folgt aus
\(\begin{aligned}   \mathbf{x}\in Q _{ i} ( f) ( V) &\implies \exists \mathbf{v}\in V\colon \left( \prod_{j = 1, j \neq i}^{r} ( \mathbf{A} - \lambda _{ j} \mathbf{I}) ^{ k _{ j} }\right)\mathbf{v}   = \mathbf{x}   \\   &\implies ( \mathbf{A} - \lambda _{ i} \mathbf{I}) ^{ k_{ i} }\mathbf{x}   = \left( \prod_{j = 1}^{r} ( \mathbf{A} - \lambda _{ j} \mathbf{I})^{ k _{ j} } \right)\mathbf{v}= \mu _{ f} ( \mathbf{A}) \mathbf{v}= 0 \end{aligned}\)
wobei die letzte Gleichheit aus dem Cayley-Hamilton Theorem folgt.