Der Kern einer Abbildung \(\varphi\) ist die Menge aller \(x\), für die
(1) \(\varphi(x) = 0\)
ist. Löse also obige Gleichung um den Kern zu bestimmen.
Das Bild einer Abbildung \(\varphi\) ist die Menge aller \(y\), für die die Gleichung
(2) \(\varphi(x) = y\)
lösbar ist. Bestimme also alle \(y\), für die obige Gleichung lösbar ist.
Sollte es sich um eine lineare Abbildung handeln, dann existiert eine Matrix \(A\), so dass \(\varphi(x) = A\cdot x\) für jedes \(x\) ist. Gleichung (1) kann dann als
\(A\cdot x = 0\)
formuliert werden und diese Gleichung kann mit dem Gauß-Verfahren gelöst werden. Ebenso kann Gleichung (2) als
\(A\cdot x = y\)
formuliert werden. Aufgrund der Definition der Matrix-Vektormultiplikation ist \(y\) in dieser Gleichung eine Linearkombination der Spaltenvektoren von \(A\). Um eine Basis des Bildes zu bestimmen kann man \(A\) mittels elementarer Spaltenumformungen in Spaltenstufenform überführen und dann die Nullspalten entfernen.
