Wir definieren eine Abbildung \( d: { ℝ }^{ 2 } × { ℝ }^{ 2 } → ℝ\) durch

Question

 \(d(({ x }_{ 1 }, { y }_{ 1 }), ({ x }_{ 2 }, { y }_{ 2 })) = |{ y }_{ 1 }| + |{ x }_{ 1 } - { x }_{ 2 }| + |{ y }_{ 2 }|. \)


1:
Beweisen Sie, dass d eine Metrik² auf \( { ℝ }^{ 2 } \) ist.  Berechnen Sie \(d(R, J)\). 
EDIT(Lu): Gemäss Kommentar: R = (1,3) und J = (4,7).

2:
Für die Menge M := {(t,2) | 0 < t < 2} geben Sie die folgenden Mengen an (alles bezüglich d):
(a) Die Menge Ber(M) der Berührpunkte von M.
(b) Die Menge HP(M) der Häufungspunkte von M.
(c) Die Menge  M° der inneren Punkte von M.
(d) Den Rand \(∂M\).

Comments

1. kann man nicht berechnen, wenn man R und J nicht hat.

EDIT: 

Besteht ein Zusammenhang zu: https://www.mathelounge.de/227095/wie-skizziere-ich-offene-kugeln-im-metrischen-raum?show=227119#c227119  ? 

Wenn ja: Welcher genau?

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R = (1,3) und J = (4,7)

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Schon dran gedacht die Eigenschaften einer Metrik abzuklappern? :)

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d ( (x1,y1) , (x2,y2) ) = |y1| + |y2| + |x1-x2| 

Einsetzen: R = (1,3) und J = (4,7)

d((1,3),(4,7)) = 3 + 7 + |1 -4| = 11+3 = 14.

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(4) wird hier: https://www.mathelounge.de/228326/haufungs-und-beruhrpunkte-x1-y1-y1-x1-x2-y2-falls-x1≠x2-ab-teil noch gefragt. 

Answer 1

d ( (x1,y1) , (x2,y2) ) = |y1| + |y2| + |x1-x2| 

du muss die drei Punkte: pos. Def.   Symm. und Dreiecksungk. prüfen

1. d ( (x1,y1) , (x2,y2) ) ≥ 0 ist klar, da Summe von drei Beträgen

  d ( (x1,y1) , (x2,y2) ) = 0 geht nur bei y1=0 und y2=0 und x1-x2=0 , also x1=x2

und y1=y2 (beide 0)  also insgesamt nur bei  (x1,y1) = (x2,y2) .

2.   d ( (x1,y1) , (x2,y2) ) = |y1| + |y2| + |x1-x2|

                                         = |y1| + |y2| + |x2-x1|

                                       =   d ( (x2,y2) , (x1,y1) )

3. zu zeigen: d ( (x1,y1) , (x3,y3) )  ≤  d ( (x1,y1) , (x2,y2) ) +  d ( (x2,y2) , (x3,y3) )

also  |y1| + |y3| + |x1-x3|     ≤      |y1| + |y2| + |x1-x2|  +    |y2| + |y3| + |x2-x3| 

                              |x1-x3|     ≤     |x1-x2| +|x2-x3| +    |y2| +   |y2|

aber      |x1-x3|  =  |x1-x2+x2-x3|   

                           =    | (x1-x2)+(x2-x3) |  

                           ≤    |x1-x2| +|x2-x3| sagt die Dreiecksungl für | ...|

und wenn rechts noch   |y2| +   |y2| addiert wird, bleibt nat. die rechte Seite

größer.

Comments

Vielen vielen Dank. In der 2: muss man quasi nur noch einsetzen oder?

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meinst du  2. Teil von 1 :  Ja

bei 2 musst du halt nach den Definitionen vorgehen

Berührpunkt, Häufungspkt etc

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Die 2. Aufgabe meinte ich. OK, alles klar dann :). Vielen Dank nochmal.

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Nicht ganz korrekt,

denn d(x,y)= 0 GENAU DANN, wenn x=y.

Wenn z.B. x=y=(5,2)

dann ist d(x,y)=4≠0.

Somit ist d, wie es oben steht, keine Metrik im R^2.

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Ich glaube es fehlte die Bedingung

d =  |y1-y2| für x1 = x2

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Ich habe die Definitionen vor mir dennoch ist mir unklar wie ich die jetzt anwenden kann.