d ( (x1,y1) , (x2,y2) ) = |y1| + |y2| + |x1-x2|
du muss die drei Punkte: pos. Def. Symm. und Dreiecksungk. prüfen
1. d ( (x1,y1) , (x2,y2) ) ≥ 0 ist klar, da Summe von drei Beträgen
d ( (x1,y1) , (x2,y2) ) = 0 geht nur bei y1=0 und y2=0 und x1-x2=0 , also x1=x2
und y1=y2 (beide 0) also insgesamt nur bei (x1,y1) = (x2,y2) .
2. d ( (x1,y1) , (x2,y2) ) = |y1| + |y2| + |x1-x2|
= |y1| + |y2| + |x2-x1|
= d ( (x2,y2) , (x1,y1) )
3. zu zeigen: d ( (x1,y1) , (x3,y3) ) ≤ d ( (x1,y1) , (x2,y2) ) + d ( (x2,y2) , (x3,y3) )
also |y1| + |y3| + |x1-x3| ≤ |y1| + |y2| + |x1-x2| + |y2| + |y3| + |x2-x3|
|x1-x3| ≤ |x1-x2| +|x2-x3| + |y2| + |y2|
aber |x1-x3| = |x1-x2+x2-x3|
= | (x1-x2)+(x2-x3) |
≤ |x1-x2| +|x2-x3| sagt die Dreiecksungl für | ...|
und wenn rechts noch |y2| + |y2| addiert wird, bleibt nat. die rechte Seite
größer.