bestimmen Sie im Konvergenzfall den Grenzwert von n!/n^5

Question

Aufgabe:

Beweisen Sie fur die angegebenen Folgen die Konvergenz oder Divergenz und ¨
bestimmen Sie im Konvergenzfall den Grenzwert.

Problem/Ansatz:

Bei n!/n^5 weiß ich nicht wie ich den Grenzwert berechnen soll. Mir fehlt der Ansatz dafür. Kann mir jemand helfen?

Answer 1

Ich schreibe \(a_n = \frac{n!}{n^5} \). Nun kannst du zum Beispiel den Quotienten betrachten:

$$\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(n+1)!\cdot n^5}{n!\cdot (n+1)^5}= (n+1)\left(1-\frac 1{n+1}\right)^5$$$$\geq \frac{n+1}{2^5}\stackrel{n\geq 63}{\geq}2$$

Das heißt, ab \(n\geq 63\) ist \(a_{n+1} \geq 2a_n\). Also wächst \(a_n\) unbeschränkt und \(\lim_{n\to \infty}a_n = \infty\).

Answer 2

Der Grenzwert für n gegen unendlich ist ∞.

Comments

Wir haben dann unendlich / unendlich oder nicht?

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n! / n^5

Das ist für großes n

= n/n * (n-1)/n * (n-2)/n * (n-3)/n * (n-4)/n * (n-5)*(n-6)*(n-7)*...

Die ersten 5 Brüche gehen gegen 1, der Rest gegen ∞.

Answer 3

n! wächst schneller als n^5.

Comments

n! steht doch im Zähler .

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Danke, es war eine Verwechslung von Z und N.