Zeige, dass die Erwartung von |X|^q < unendlich für q in (0,p), und p in (0, unendlich)

Question

Sei \( p \in(0, \infty) \) und sei \( X \) eine Zufallsvariable, für die \( \mathbf{E}\left[|X|^{p}\right]<\infty \) gilt. Zeige, dass

\( \mathbf{E}\left[|X|^{q}\right]<\infty \text { für alle } q \in(0, p) \)

Ich denke, man muss die Hölder-Ungleichung verwenden, obwohl \(p \in (0, \infty) \). Jedoch muss \( \frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1 \) sein. Bin mir nicht sicher, wie ich hier den Beweis konstruieren soll.

Answer 1

Mit Hölder haben wir für \( q \in ( 0, p ) \)
\(\begin{aligned}   \mathbb{E}\left[ \left| X\right| ^{ q}\right]   = \int_{ \Omega } \left| X\right| ^{ q} \,\mathrm{d}\mu   \le \left( \int_{  \Omega} \left| X\right| ^{p}\right)^{q / p} \left( \int_{ \Omega } 1^{1 / ( 1 - q / p)  }\right)^{ 1 - q / p }   = \mathbb{E}\left[ \left| X\right| ^{ p}\right] ^{ q/p} < \infty \end{aligned}\)
da ja \( \mu\left( \Omega \right ) = 1 \) für einen Wahrscheinlichkeitsraum gilt.

Comments

Ich verstehe nicht ganz, wie du auf   \( \left( \int_{  \Omega} \left| X\right| ^{p}\right)^{p / q} \left( \int_{ \Omega } 1^{ 1 - q / p}\right)^{ 1 / ( 1 - q / p) } \) kommst. Könntest du nach mal die Wahl der Exponenten erklären und wie du auf den Term kommst?

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Ich habe die Hölderungleichung auf \( \left| X\right|^q \cdot 1 \) angewandt mit Exponten \(a = p / q\) und \( b = 1 / ( 1 - q / p)  \) sodass
\(\begin{aligned} \frac{1}{ a} + \frac{1}{ b} = 1 \end{aligned}\)
gilt, wie für Hölder verlangt.

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Jetzt sehe ich es. Danke!