Berechnen Sie die Erwartung von X. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass X ≥ 1 gegeben, dass X ≥ 0.5.

Question

Aufgabe:

Die Verteilungsfunktion F(x) einer Zufallsvariable X sei 0 für x < 0, 0.2 auf dem Intervall [0, 1), 0.7 auf dem Intervall [1,2), und 1 für x ≥ 2.

1. Berechnen Sie die Erwartung von X.

2. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass X ≥ 1 gegeben, dass X ≥ 0.5.

Problem/Ansatz:

1. E(X)=0*0.2+1*0.5+2*0.3=1.1

2. P(X≥1∣X≥0.5)= 0.375

Benötige Hilfe bei der Lösung!

Answer 1

Es handelt sich um eine diskrete Zufallsvariable, weil die Verteilungsfunktion stückweise konstant ist.

1. Also ist

           \(E(X) = \sum x_i\cdot P(X = x_i)\)

   wobei die \(x_i\) die Werte sind, die die Zufallvariable \(X\) annehmen kann. Konkret kann \(X\) die Werte \(0\), \(1\) und \(2\) annehmen, weil das die Sprungstellen der Verteilungsfunktion sind. Also ist

           \(\begin{aligned} E(X)=\, & 0\cdot P(X=0)+1\cdot P(X=1)+2\cdot P(X=2)\\ =\, & 0\cdot\left(P(X\leq0)-P(X<0)\right)\\ + & 1\cdot\left(P(X\leq1)-P(X<1)\right)\\ + & 2\cdot\left(P(X\leq2)-P(X<2)\right)\\ =\, & 0\cdot\left(F(0)-0\right)+1\cdot\left(F(1)-F(0)\right)+2\cdot\left(F(2)-F(1)\right) \end{aligned}\)

2. Laut Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit ist
   

           \(P(X\geq 1 | X\geq 0{,}5) =\frac{P(X\geq 1 \wedge X\geq 0{,}5)}{P(X\geq 0{,}5)}\).
   

   Dabei ist
   

           \(\begin{aligned}P(X\geq 0{,}5) &= 1-P(X < 0{,}5)\\& = 1 - P(X\leq 0)\\& = 1-F(0)\end{aligned}\)

   und

           \(\begin{aligned}P(X\geq 1 \wedge X\geq 0{,}5)& = P(X\geq 1)\\& = 1-P(X < 1)\\& = 1-P(X\leq 0)\\& = 1-F(0)\end{aligned}\).

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Vielen Dank für die ausführliche Antwort!