Unbestimmte Integrale mit sin cos ln wurzel

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

\( \int \limits_{1}^{\infty} \frac{\sin \left(\mathrm{e}^{x^{2}}\right) \sqrt{x^{2}-1}}{x^{4}+1+\cos (\ln (x))} \mathrm{d} x \)
(c) \( \int \limits_{0}^{1} \int \limits_{x^{2}}^{1} \sqrt{y} \mathrm{e}^{-y^{2}} \cos \left(\frac{\pi x}{2 \sqrt{y}}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} x \).

Problem/Ansatz:

Man soll bei dem ersten die Konvergenz bestimmen und bei dem zweiten die Existenz oder Nichtexistenz beweisen. Hat jemand für die beiden Aufgaben einen Tipp?

Answer 1

Hallo,

zu a): Verwende das Majorantenkriterium (erinnere dich an die Definition des Riemann-Integrals über Unter- und Obersummen; Riemann-Integrale und Reihen sind verbrüdert). Es gilt: $$\left|\frac{\sin(e^{x^2})\sqrt{x^2-1}}{x^4+1+\cos(\ln(x))}\right|\leq \frac{\sqrt{x^2-1}}{x^4}=\sqrt{\frac{1}{x^6}-\frac{1}{x^8}}$$ für \(x\in [1,\infty)\). Hier der Graph, es ist gewissermaßen die Einhüllende:

https://www.desmos.com/calculator/sd0iznhokk

Es gilt nun (nach kurzer Begründung der Riemann-Integrierbarkeit):$$\int \limits_{1}^{\infty}\left|\frac{\sin(e^{x^2})\sqrt{x^2-1}}{x^4+1+\cos(\ln(x))}\right|\, \mathrm{d}x\leq \int \limits_{1}^{\infty}\sqrt{\frac{1}{x^6}-\frac{1}{x^8}}\, \mathrm{d}x=\frac{1}{3}.$$

Das letzte Integral sieht vielleicht auf den ersten Blick schwer zu lösen aus, es ist aber nicht schwer, wenn man partielle Integration kennt. (Zur Not kann dir https://www.integralrechner.de/ helfen).

Für die andere Aufgabe würde ich erst etwas Eigenleistung sehen wollen! Melde dich und sage, wo die Probleme liegen.

Comments

Vielen Dank so habe ich die erste inzwischen auch gelöst! Bei dem zweiten bin ich immernoch nicht viel schlauer, aber ich werde es nochmal versuchen! Vielen Dank dass du mir die Sicherheit gegeben hast, dass es richtig war, was ich gemacht habe!