Aloha :)
Ableiten und Integrieren sind quasi Umkehrungen voneinander. Beim Ableiten von \(x^n\) holst du den Exponenten als Faktor nach vorne und verminderst anschließend den Exponenten um \(1\). Beim Integrieren machst du das in umgekehrter Reihenfolge rückgängig. Du erhöhst zuerst den Exponenten um \(1\) und dividierst dann durch den neuen Exponenten:$$\left(x^n\right)'=n\cdot x^{n-1}\quad;\quad \int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+\text{const}$$Ein unbestimmtes Integral ist allerdings nur bis auf eine Konstante eindeutig festgelegt, weil die Ableitung einer Konstanten gleich null ist.
$$I_a=\int x\,dx=\frac{x^2}{2}+\text{const}$$$$I_b=\int (3x^2+5x-4)\,dx=3\cdot\frac{x^3}{3}+5\cdot\frac{x^2}{2}-4\cdot\frac{x^1}{1}+\text{const}=x^3+\frac{5}{2}x^2-4x+\text{const}$$$$I_c=\int1\,dx=\int x^0\,dx=\frac{x^1}{1}+\text{const}=x+\text{const}$$$$I_d=\int(2x^3-7x^2)dx=2\cdot\frac{x^4}{4}-7\cdot\frac{x^3}{3}+\text{const}=\frac{x^4}{2}-\frac{7}{3}x^3+\text{const}$$
