Mit Hilfe von $$e^{ix} = \cos x + i \sin x$$ schreibst du zunächst
$$\cos x = \frac 12(e^{ix} + e^{-ix}),\: \sin x = \frac 1{2i}(e^{ix} - e^{-ix})$$
Damit erhältst du
$$\tan x = \frac 1 i \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{e^{ix} + e^{-ix}}$$
Das setzt du nun auf der linken Seite deiner Gleichung ein:
$$\frac{1+\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{e^{ix} + e^{-ix}}}{1 - \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{e^{ix} + e^{-ix}}} = \frac{e^{ix} + e^{-ix} + e^{ix} - e^{-ix}}{e^{ix} + e^{-ix} - e^{ix} + e^{-ix}}$$
$$= \frac{2e^{ix}}{2e^{-ix}} = e^{2ix}$$
