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Aufgabe:


es geht um folgende Aufgabe:


Zeigen Sie, dass für alle x ∈ (-π/2  , π/2) gilt 1+itanx1itanx \frac{1 + i tanx}{1-i tanx} = e2ix


Problem/Ansatz:

Für e2ix gilt ja cos(2x) + isin(2x) und für cos(2x) = 1tan(x)21+tan(x)2 \frac{1-tan(x)^2}{1+tan(x)^2}


Würde mich über Hilfe echt freuen...



LG

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Mit Hilfe von eix=cosx+isinxe^{ix} = \cos x + i \sin x schreibst du zunächst

cosx=12(eix+eix),sinx=12i(eixeix)\cos x = \frac 12(e^{ix} + e^{-ix}),\: \sin x = \frac 1{2i}(e^{ix} - e^{-ix})

Damit erhältst du

tanx=1ieixeixeix+eix\tan x = \frac 1 i \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{e^{ix} + e^{-ix}}

Das setzt du nun auf der linken Seite deiner Gleichung ein:

1+eixeixeix+eix1eixeixeix+eix=eix+eix+eixeixeix+eixeix+eix\frac{1+\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{e^{ix} + e^{-ix}}}{1 - \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{e^{ix} + e^{-ix}}} = \frac{e^{ix} + e^{-ix} + e^{ix} - e^{-ix}}{e^{ix} + e^{-ix} - e^{ix} + e^{-ix}}

=2eix2eix=e2ix= \frac{2e^{ix}}{2e^{-ix}} = e^{2ix}

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