Zeigen Sie, dass für alle x ∈ (-π/2 , π/2) gilt ...

Question

Aufgabe:

es geht um folgende Aufgabe:

Zeigen Sie, dass für alle x ∈ (-π/2  , π/2) gilt \( \frac{1 + i tanx}{1-i tanx} \) = e^2ix

Problem/Ansatz:

Für e^2ix gilt ja cos(2x) + isin(2x) und für cos(2x) = \( \frac{1-tan(x)^2}{1+tan(x)^2} \)

Würde mich über Hilfe echt freuen...

LG

Answer 1

Mit Hilfe von $$e^{ix} = \cos x + i \sin x$$ schreibst du zunächst

$$\cos x = \frac 12(e^{ix} + e^{-ix}),\: \sin x = \frac 1{2i}(e^{ix} - e^{-ix})$$

Damit erhältst du

$$\tan x = \frac 1 i \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{e^{ix} + e^{-ix}}$$

Das setzt du nun auf der linken Seite deiner Gleichung ein:

$$\frac{1+\frac{e^{ix} - e^{-ix}}{e^{ix} + e^{-ix}}}{1 - \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{e^{ix} + e^{-ix}}} = \frac{e^{ix} + e^{-ix} + e^{ix} - e^{-ix}}{e^{ix} + e^{-ix} - e^{ix} + e^{-ix}}$$

$$= \frac{2e^{ix}}{2e^{-ix}} = e^{2ix}$$