Hallo,
Das Integral krieg ich integriert, ...
Dann hast Du wahrscheinlich als Ergebnis 0 heraus bekommen. Das liegt daran, dass die Fläche in diesem Integral aus einem negativen und einem positiven Teil gleicher Größe besteht, und die Summe dieser Teile ist 0. Es wird klarer, wenn man sich ein Bild macht:
Die Stammfunktion (rot) hat an den Grenzen den gleichen Wert \(F(1/e)=F(e)=1/2\) und folglich ist das Integral \(=0\). Um die (blaue) Fläche zu berechnen, muss man den Betrag der Funktion berücksichtigen. Allgemein gilt:$$F = \int\limits_{x=1/e}^{e} \left|\frac{\ln(x)}{x}\right|\,\text{d}x$$und das löst man praktisch indem man die Funktion in eben die zwei Teile zerlegt. Die Teilstelle liegt bei der Nullstelle \(x_0=1\)$$\begin{aligned}F &= \int\limits_{x=1/e}^{e} \left|\frac{\ln(x)}{x}\right|\,\text{d}x \\&= \int\limits_{x=1/e}^{1} \left|\frac{\ln(x)}{x}\right|\,\text{d}x + \int\limits_{x=1}^{e} \left|\frac{\ln(x)}{x}\right|\,\text{d}x \\&= -\int\limits_{x=1/e}^{1} \frac{\ln(x)}{x}\,\text{d}x + \int\limits_{x=1}^{e} \frac{\ln(x)}{x}\,\text{d}x \\&= -\left.\frac{1}{2}\ln^2(x)\right|_{x=1/e}^1 + \left.\frac{1}{2}\ln^2(x)\right|_{x=1}^{e} \\&= -\left(0 -\frac{1}{2}\right) + \frac{1}{2} - 0 \\&= 1\end{aligned}$$Gruß Werner
