Question

Wie berechnet man die Summe aller Funktionswerte in einem bestimmten Intervall? Wenn eine Ableitungsfunktion gegeben ist gibt diese die momentane Änderungsrate an. Alle momentanen Änderungsraten addiert bis zu einer Stelle x0 gibt ja gerade den Funktionswert F(x0) der Stammfunktion. Also mit dem Integral müsste es funktionieren.

Die Steigung an einer Stelle x0 ist sage ich mal a.

a = dy/dx
dy = dx*a. Wenn dx gegen null läuft hat man die Änderung des Funktionswertes, wenn sich dieser um einen Wert nah null ändert. Jetzt gibt es unendlich viele Steigung auf einem stetigen Intervall. Heißt all die Steigungen addiert muss den Funktionswert an der Stelle x0 ergeben. Unendliche Addition bedeutet die Verwendung des Integrals.

Geometrisch ergibt sich aus dx*a eine Rechteckfläche. Die Addition alle dieser Änderungen von Null kumulativ betrachtet muss gerade die Fläche unter dem Graphen geben.

Ok, jetzt habe ich glaube ich selber meine Frage schon beantwortet. Falls jemand irgendwelche interessanten Informationen zu ergänzen hat, freue ich mich.

Answer 1

Hallo

ja, du hast es selbst beantwortet. Gut

Gruß lul

Answer 2

Den Begriff "Summe aller Funktionswerte" solltest du hier lieber vermeiden.

Heißt all die Steigungen addiert muss den Funktionswert an der Stelle x0 ergeben.

Die Steigungen werden eben nicht einfach addiert. Hier ein formaler Zugang zu dem, was du beschreiben willst:

Wir nehmen eine einmal stetig differenzierbare Funktion \(f\) auf dem Intervall \([a,b]\) und eine Zerlegung \(a=x_0 < x_1 < \cdots <x_{n-1} < x_n = b\). Dann gilt offensichtlich mithilfe des Mittelwertsatzes der Differentialrechnung:

\(f(b) - f(a) = \sum_{k=1}^n (f(x_k) - f(x_{k-1}))\)

\(= \sum_{k=1}^n \underbrace{f'(\xi_k)}_{Steigung}(x_k - x_{k-1}) \)

Wie du siehst, werden die Steigungen noch mit den Intervall-Längen multipliziert.

Wenn man nun die Feinheit der Zerlegungen gegen null gehen lässt, entsteht das Integral, welches offensichtlich nicht die Summe aller Funktionswerte von \(f'\) auf \([a,b]\) darstellt.

Comments

Deswegen ja dy = dx*a. Das muss auch der Grund sein warum man die Integrationsvariable dx schreibt.

Formalisierung sind trotzdem gut, danke.