lineare Unabhängigkeit von Spaltenvektoren

Question

Aufgabe:

Wir betrachten das lineare Gleichungssystem, das für \( s \in \mathbb{R} \) durch die folgende erweiterte Koeffizientenmatrix gegeben ist:

\( \left(\begin{array}{rrr|c} 1 & 1 & -7 & 0 \\ -1 & 3 & -s & -8 \\ 1 & s & -4 & 3-s \end{array}\right) \)

(a) Bestimmen Sie alle Wert für \( s \in \mathbb{R} \), für die das Gleichungssystem

(i) genau eine Lösung,

(ii) unendlich viele Lösungen bzw.

(iii) keine Lösung besitzt.

(b) Übertragen Sie lhre Ergebnisse aus (a) auf die lineare Abhängigkeit bzw. lineare Unabhängigkeit von Spaltenvektoren.

Problem/Ansatz:

ich komme einfach nicht weiter. Ich bekomme das s einfach nicht so in Form, dass ich weiterkommen könnte.

Answer 1

Wie wolltest du es denn angehen? Die Matrix auf Zeilenstufenform bringen?

[1, 1, -7, 0]
[-1, 3, -s, -8]
[1, s, -4, 3 - s]

II + I ; III - I

[1, 1, -7, 0]
[0, 4, -s - 7, -8]
[0, s - 1, 3, 3 - s]

4*III - (s - 1)*II

[1, 1, -7, 0]
[0, 4, -s - 7, -8]
[0, 0, s^2 + 6·s + 5, 4·(s + 1)]

Jetzt sollte es dir nicht mehr schwer fallen, oder?

Answer 2

Vlt.fällt es dir so leichter:

a+b-7c =0

-a+3b- s = -8

a+2s -4c = 3

Comments

Also ich würde mal große Zweifel anmelden wollen.

Warum wird b und c einfach nur durch s ersetzt und warum verschwindet das -s in der dritten Zeile so einfach?

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Danke, das war ein Tippfehler.

Das s habe ich nach links gebracht.

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Trotzdem sollten die vorhandenen b's und c's nicht einfach so verschwinden.

Wenn dann so

a + b - 7·c = 0
-a + 3·b - s·c = -8
a + s·b - 4·c = 3 - s

Und jetzt siehst du hoffentlich auch in der dritten Zeile, dass du nicht einfach

s·b + s = 2·s

verrechnen kannst.