komplexe Gleichung und Folgen

Question

Aufgabe:

(i) Zeigen Sie, dass für \( z, w \in \mathbb{C} \) die Gleichung

\( |z+w|^{2}+|z-w|^{2}=2|z|^{2}+2|w|^{2} \)

gilt.

(ii) Untersuchen Sie die folgenden komplexen Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie gegebenenfalls den Grenzwert.

(a) \( \left(\sqrt[n]{n} \cdot \frac{n^{2}}{1+12 n+2 n^{2}}+i \frac{3^{n}+n^{6}}{n^{8}+2 n^{4}+2^{n}}\right)_{n \in \mathbb{N}} \),

(b) \( \left((2+i) \frac{\log (n)}{\sqrt{n}}+\left(2-\exp (-n) \cdot n^{7}\right) i\right)_{n \in \mathbb{N}} \),

(c) \( \left(\left(\frac{1}{1+i}\right)^{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \).

Problem/Ansatz:

Comments

Für ii): Wäre die a) divergent, da mindestens 1 Bruch gegen 0 geht?

Wie kann man bei b) und c) vorgehen?

---

c) ist nicht zufällig 1/√2 oder?

Answer 1

Zu (i):

\(|z+w|^2+|z-w|^2=(z+w)(\overline{z+w})+(z-w)(\overline{z-w})=\)

\(=(z+w)(\bar{z}+\bar{w})+(z-w)(\bar{z}-\bar{w})=\)

\(=z\bar{z}+w\bar{z}+z\bar{w}+w\bar{w}+z\bar{z}-w\bar{z}-z\bar{w}+w\bar{w}=\)

\(=2z\bar{z}+2w\bar{w}=2|z|^2+2|w|^2\).