geben sie das normierte Polynom an

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Geben Sie für die folgenden Polynome $P, Q \in \mathbb{R}[x]$ jeweils das eindeutig bestimmte normierte Polynom $g \in \mathbb{R}[x]$ mit $\langle g\rangle=\langle P, Q\rangle$ an und bestimmen Sie jeweils Polynome $u, v \in \mathbb{R}[x]$ mit $g=u P+v Q$.

P=x⁴⁵-1 Q=x²⁴-1

Problem/Ansatz:

Für polynome kleineren Grades kann ich das mit der Polynomdivision machen. Aber hier habe ich nicht so die Ahnung wie das geschehen soll. :D

Comments

Du wendest einfach den erwiterten euklidischen Algorithmus an:

https://de.wikipedia.org/wiki/Erweiterter_euklidischer_Algorithmus#R…

Hier in übersichtlicher Tabellen-Notation. Die Rechenschritte sind dabei sehr leicht und schnell durchgeführt. Die meisten auftauchenden Polynome haben <= 2 Terme.

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ich hatte das damit versucht aber ich muss etwas falsch machen. ich probiere es nochmal. Ich hab da glaube ich einen denkfehler gehabt. kannst du eventuell den ersten schritt mir geben damit ich diesen mal mit meinem überprüfen kann?

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Das ist die Tabelle für den euklidischen Algorithmus

a	b	r	q	s	t
$x^{45} -1$	$x^{24}-1$	$x^{21}-1$	$x^{21}$
$x^{24}-1$	$x^{21}-1$	$x^3 -1$	$x^3$
$x^{21}-1$	$x^3 -1$	0	$x^{18}+x^{15}+\dotsm$
$x^3 -1$	0			1	0

Einfach immer a=q*b+r rechnen. Dann in der Zeile darunter

$a=b_{{{\mathsf {alt}}}}$

$b=r_{{{\mathsf {alt}}}}$

Wenn b=0 steht der ggT in a.

Die Koeffizienten für s und t kannst du dann (wenn du das letzte q hast) mit den im Artikel angegebenen Formeln berechnen:

$s=t_{{{\mathsf {alt}}}}$

$t=s_{{{\mathsf {alt}}}}-q\cdot t_{{{\mathsf {alt}}}}$

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Vielen Dank!

Answer 1

Hier ist es ratsam, die spezielle Form der Polynome auszunutzen.

Es gilt nämlich für $m>n \in \mathbb N$ mit $m=nq+r$ und für Polynome $p(x)$:$$p(x)| (x^m-1),(x^n-1)\Rightarrow p(x)| (x^r - 1)$$Eine einfache Rechnung, die das zeigt, findest du hier (ersetze dort a durch die Variable x).

Damit gilt $\langle (x^m-1), (x^n-1) \rangle = x^{\langle m, n\rangle}-1$

In deinem Fall haben wir $$m=45, n = 24\Rightarrow x^3-1$$Die konkrete Rechnung ist nun:

$$\begin{array}{rcl} x^{45}-1 & = & x^{21}(x^{24}-1) + x^{21}-1 \\ x^{24}-1 & = & x^{3}(x^{21}-1) + x^{3}-1\end{array}$$Wegen $x^{21}-1 = \left(x^3\right)^7-1$ ist $(x^3-1)$ ein Teiler von $x^{21}-1$.

Jetzt musst du nur noch rückwärts einsetzen und erhältst:$$x^3-1 = -x^3(x^{45}-1) + (x^{24}+1)(x^{24}-1)$$

Comments

was mich gerade verwirrt ,wieso ist das skalarprodukt von 45 und 24 =3 :D

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Ich hab deine Schreibweise für den ggT benutzt :-D

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Ah achso sorry :D vielen Dank! :D

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noch eine Frage. Wie genau bist du jetzt auf u und v gekommen?

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Du nimmst die beiden Gleichungen der konkreten Rechnung und löst die rückwärts nach dem ggT auf.