Hier ist es ratsam, die spezielle Form der Polynome auszunutzen.
Es gilt nämlich für m>n∈N mit m=nq+r und für Polynome p(x):p(x)∣(xm−1),(xn−1)⇒p(x)∣(xr−1)Eine einfache Rechnung, die das zeigt, findest du hier (ersetze dort a durch die Variable x).
Damit gilt ⟨(xm−1),(xn−1)⟩=x⟨m,n⟩−1
In deinem Fall haben wir m=45,n=24⇒x3−1Die konkrete Rechnung ist nun:
x45−1x24−1==x21(x24−1)+x21−1x3(x21−1)+x3−1Wegen x21−1=(x3)7−1 ist (x3−1) ein Teiler von x21−1.
Jetzt musst du nur noch rückwärts einsetzen und erhältst:x3−1=−x3(x45−1)+(x24+1)(x24−1)