Hier ist es ratsam, die spezielle Form der Polynome auszunutzen.
Es gilt nämlich für \(m>n \in \mathbb N\) mit \(m=nq+r\) und für Polynome \(p(x)\):$$p(x)| (x^m-1),(x^n-1)\Rightarrow p(x)| (x^r - 1)$$Eine einfache Rechnung, die das zeigt, findest du hier (ersetze dort a durch die Variable x).
Damit gilt \(\langle (x^m-1), (x^n-1) \rangle = x^{\langle m, n\rangle}-1\)
In deinem Fall haben wir $$m=45, n = 24\Rightarrow x^3-1$$Die konkrete Rechnung ist nun:
$$\begin{array}{rcl} x^{45}-1 & = & x^{21}(x^{24}-1) + x^{21}-1 \\ x^{24}-1 & = & x^{3}(x^{21}-1) + x^{3}-1\end{array}$$Wegen \(x^{21}-1 = \left(x^3\right)^7-1\) ist \((x^3-1)\) ein Teiler von \(x^{21}-1\).
Jetzt musst du nur noch rückwärts einsetzen und erhältst:$$x^3-1 = -x^3(x^{45}-1) + (x^{24}+1)(x^{24}-1)$$
