Basis B sodass B[fA]B in Jordannormalform ist

Question

Aufgabe:

Die folgende Matrix A ∈ Mat4(C) hat als einzigen Eigenwert 1.
A :=
0 1 1 1
−1 2 0 1
0 0 1 0
0 0 1 1
Bestimmen Sie eine Basis B von C^4
, sodass B[fA]B in Jordan-Normalform ist. Geben
Sie auch die Jordan-Normalform an

Problem/Ansatz:

Ich habe die linear unabhängigen Eigenvekoren (1,1,0,0)^T und (1,0,01)^T ausgerechnet, indem ich ker(A-I) gebilted habe.

Das sind schonmal 2 basisvektoren aber wie komme ich jetzt auf die fehlenden zwei? Ich habs einfach mal mit (0,0,1,0)^T und (0,0,0,1)^T ausprobiert und komme auf B[fA]B=

1 0 1 0

0 1 0 1

0 0 1 0

0 0 0 1

Aber das ist doch keine Jordannormalform oder?

Answer 1

Suche HV ∈ Ker (A-λ id)^N mit dim Ker (A-λ id)^N = n ∧ HV ¬∈ Ker (A-λ id)^N-1 ==> N=2 ==> Ker (A-λ id)^N = 0

==>

\(\small HVKandidaten \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrr}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{array}\right) \text{∀} ∉ Kern\)

HV1u2:=(A - id) HVKandidaten

\(\small HV1u2 \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrr}-1&1&1&1\\-1&1&0&1\\0&0&0&0\\0&0&1&0\\\end{array}\right)\)

wähle Spalten 2 und 3 aus HVKandidaten und HV1u2

\(\small T \, :=  \, \left(\begin{array}{rrrr}1&0&1&0\\1&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0\\\end{array}\right)\)

\(T^{-1} A \;T = \, \left(\begin{array}{rrrr}1&1&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&1\\0&0&0&1\\\end{array}\right)\)