Aufgabe:
\begin{align*} \left|\left(\frac{k^4+17}{5k^4+k}\right)^k\right| &= \left(\frac{k^4+17}{5k^4+k}\right)^k \ &= \left(\frac{k^4(1+\frac{17}{k^4 })}{k(5k^3+1)}\right)^k \ &= \left(\frac{1}{5+\frac{1}{k^3}}\right)^k \ & < \left(\frac{1}{5}\right)^k \end{align*}
Da $$\sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{5}\right)^k$$ eine konvergente geometrische Reihe ist, folgt aus dem Majoranten-Kriterium, dass die ursprüngliche Reihe absolut konvergent ist ist.
Um die gewöhnliche Konvergenz zu zeigen, verwenden wir den Wurzeltest:
\begin{align*} \sqrt[k]{\left(\frac{k^4+17}{5k^4+k}\right)^k} &= \frac{k^4+17}{5k ^4+k} \ &= \frac{1+\frac{17}{k^4}}{5+\frac{1}{k^3}} \end{align*}
Da $$\lim_{k\to\infty}\frac{1+\frac{17}{k^4}}{5+\frac{1}{k^3}}=\frac{1}{5} $$, folgt aus dem Wurzeltest, dass die ursprüngliche Reihe gewöhnlich konvergent ist.
Problem/Ansatz:
