Prüfen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz

Question

Aufgabe:

Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz und absolute Konvergenz.
(a) \( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{k(k+1)}} \),
(b) \( \sum \limits_{k=0}^{\infty} \frac{2^{k} k !}{k^{k}} \).
Hinweis: Sie dürfen ohne Beweis benutzen, dass \( \left(1+\frac{1}{n}\right)^{n} \stackrel{n \rightarrow \infty}{\longrightarrow} e \approx 2,71828 \) gilt.

Problem/Ansatz:

Ich habe leider absolut keine Ahnung wie ich die Aufgabe machen soll, könnte mir jemand damit behilflich sein?

Answer 1

Aloha :)

zu a) Wenn wir den Nenner eines Bruches vergrößern, wird der Bruch kleiner:$$\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{\sqrt{k\cdot(k+1)}}>\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{\sqrt{(k+1)\cdot(k+1)}}=\sum\limits_{k=1}^\infty\frac{1}{k+1}=\sum\limits_{k=2}^\infty\frac{1}{k}\to\infty$$Da die harmonische Reihe divergiert, divergiert auch die betrachtete Summe.

zu b) Wie verwenden das Quotientenkriterium:$$\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|=\left|\frac{\frac{2^{k+1}\cdot (k+1)!}{(k+1)^{k+1}}}{\frac{2^k\cdot k!}{k^k}}\right|=\frac{2^{k+1}\cdot (k+1)!}{(k+1)^{k+1}}\cdot\frac{k^k}{2^k\cdot k!}=\frac{2^{k+1}}{2^k}\cdot\frac{(k+1)!}{k!}\cdot\frac{k^k}{(k+1)^{k+1}}$$$$\phantom{\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|}=2\cdot(k+1)\cdot\frac{k^k}{(k+1)^k\cdot(k+1)}=\frac{2k^k}{(k+1)^k}=\frac{2}{\frac{(k+1)^k}{k^k}}=\frac{2}{\left(\frac{k+1}{k}\right)^k}=\frac{2}{\left(1+\frac1k\right)^k}$$Dem Hinweis folgend konvergiert der Nenner für \(k\to\infty\) gegen \(e\):$$\lim\limits_{k\to\infty}\left|\frac{a_{k+1}}{a_k}\right|=\frac2e<1\quad\implies\quad\text{konvergiert!}$$