Aufgabe:
Sei \( A:=\sum \limits_{n=0}^{\infty} 2^{n}=1+2+4+8+\cdots \). Offenbar ist
\( \begin{aligned} A & =\sum \limits_{n=0}^{\infty} 2^{n}=\sum \limits_{n=1}^{\infty} 2^{n-1}=\sum \limits_{n=1}^{\infty} 2^{n} \cdot \frac{1}{2} \\ & =\frac{1}{2} \cdot \sum \limits_{n=1}^{\infty} 2^{n}=\frac{1}{2} \cdot\left(-1+\sum \limits_{n=0}^{\infty} 2^{n}\right)=\frac{1}{2} \cdot(-1+A), \end{aligned} \)
also \( A=\frac{1}{2}(A-1) \). Auflösen nach \( A \) liefert \( A=-1 \). Also gilt
\( 1+2+4+8+16+32+\cdots=-1 \)
Aufgabe: Wo ist der Fehler in obiger Rechnung? (Dazu gehört, dass Sie den genauen Ort
des Fehlers und die Art des Fehlers aufzeigen; sowie gegebenenfalls von weiteren Fehlern
in der Rechnung.)
Problem/Ansatz:
Hallo, habe ein wenig Probleme mit der obigen Aufgabe. Offensichtlich divergiert die geometrische Reihe.
Allerdings finde ich den Fehler einfach nicht, auch mit Einsetzen von Zahlen kann ich keinen offensichtlichen Fehler in den Umformungen erkennen.
Bin für jede Hilfe dankbar.
