Aloha :)
In der Gauß'sche Zahlenebene wird der Realteil einer komplexen Zahl \(z=x+iy\) auf der x-Achse und der Imaginärteil auf der y-Achse aufgetragen. Die komplexe Zahl \(z\) bekommt so eine Interpretation als Punkt \((x;y)\) oder als Ortsvektor \(\binom{x}{y}\). Wenn man diesen Vektor \(\binom{x}{y}\) um den Winkel \(2\pi\) um den Ursprung dreht, landet er wieder an derselben Stelle, weil die Anzahl der vollen Umdrehungen nicht in die Darstellung eingeht.
Bei Anwendung der Potenzgesetze geht die Anzahl der Umdrehungen aber sehr wohl ein. Wenn du nämlich eine komplexe Zahl \(z=re^{i\varphi}\) quadrierst, wird ihr Betrag \(r\) quadriert, und ihr Polarwinkel verdoppelt. Wenn du die Wurzel aus einer komplexen Zahl ziehst, wird der Betrag \(r\) "gewurzelt" und ihr Polarwinkel halbiert:$$z^2=(re^{i\varphi})^2=r^2e^{i\,2\varphi}\quad;\quad \sqrt z=(re^{i\varphi})^{\frac12}=\sqrt r\,e^{i\varphi/2}$$
Die komplexen Zahlen \(e^0\) und \(e^{i\,2\pi}\) entsprechen in der Gauß'schen Zahlenebene beide dem Vektor \(\binom{1}{0}\). Beim Ziehen der Wurzel von \(e^0\) mittels der Potenzgesetze wird der Polarwinkel \(0\) halbiert, sodass sich am Vektor \(\binom{1}{0}\) nichts ändert.. Beim Ziehen der Wurzel von \(e^{i2\pi}\) wird der Polarwinkel \(2\pi\) halbiert, aus \(e^{i2\pi}\) wird \(e^{i\pi}\), was in der Gauß'schen Zahlenebene dem Vektor \(\binom{-1}{0}\) entspricht.
In diesem Sinne ist bereits die erste Zeile in deiner Rechung falsch, da sie \(e^{i2\pi}=e^0\) voraussetzt. Das ist für die Darstellung in der Gauß'schen Zahlenebene zwar korrekt, aber gilt eben nicht bei Anwendung der Potenzgesetze.
