Nilpotente Matrix, beweise

Question

Aufgabe:

Sei K ein Körper, V ein endlich erzeugter K-Vektorraum
und n := dimK(V ). Wir betrachten zunächst f, g ∈ EndK(V ) mit g nilpotent und
f ◦ g = g ◦ f. Beweisen Sie die Aussagen.
(a) Es ist det(idV + g) = 1.
(b) f ◦ g ist nilpotent.
(c) Es ist det(f) = det(f + g).
Zeigen Sie außerdem die folgende, zu (b) entgegengesetzte Aussage, wenn wir nicht
voraussetzen, dass f und g kommutieren mussen. ¨
(d) Ist h ∈ EndK(V ) nicht regulär, so gibt es nilpotentes g ∈ EndK(V ) und ein
f ∈ EndK(V ) mit h = f ◦ g.

Answer 1

b) g nilpotent ==> ∃n∈ℕ  g^n = 0.

Wegen des Kommutierens gilt (fog)^n = f^n o g^n = f^n o 0 = 0

Also  fog nilpotent.

Answer 2

a)

$$ Da \quad g \quad nilpotent \quad gilt \quad \Chi_g=(-t)^n=det(t \cdot id_V-g)$$
$$Sei \quad t=-1 \quad dann \quad gilt \quad (-1)^n=det((-1) \cdot id_V-g)=det((-1)\cdot (id_V+g)$$
$$=(-1)^n \cdot det(id_V+g)$$
$$Dann \quad noch \quad durch \quad (-1)^n \quad teilen $$

LG