Wie lässt sich zeigen, dass die Viergruppe V4 ein Normalteiler zu S4 ist?

Question

Aufgabe:

Wie lässt sich zeigen, dass die Viergruppe V4 ein Normalteiler zu S4 ist?

Problem/Ansatz:

V4 ist abelsch

Answer 1

Es kommt darauf an, welche Sätze ihr über die Konjugation

von Zykeln durch Permutationen kennt.

Das einfachste wäre, ihr wüsstet, dass

für einen Zykel \(z=(i_1\; i_2\;\cdots \; i_k)\) und eine beliebige

Permutation \(\pi\) gilt:

\(\pi\circ z\circ \pi^{-1}=(\pi(i_1)\; \pi(i_2)\; \cdots\; \pi(i_k))\).

Dann ist alles ganz einfach.

Comments

Ja das wissen wir bereits und muss nicht mehr gezeigt werden, wie führt man damit dann den Beweis?

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Nehmen wir z.B. \((1\;2)(3\;4)\in V_4\) und ein beliebiges \(\pi\in S_4\).

Dann gilt

\(\pi\circ(1\; 2)(3\; 4)\circ \pi^{-1}=\pi\circ (1\;2)\circ \pi^{-1}\circ \pi\circ (3\;4)\circ \pi^{-1}=\)

\(=(\pi(1)\;\pi(2))(\pi(3)\;\pi(4))\in V_4\).

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Reicht es beliebige aus V4 und S4 zu nehmen, muss man nicht für alle Elemente zeigen?

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Du musst zeigen \(\pi\cdot V_4\cdot \pi^{-1}\subseteq V_4\; \; \forall\,  \pi \in S_4\).

Dann ist \(V_4\) ein Normalteiler in \(S_4\).

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Also war das oben gezeigt nur ein Beispiel und nicht ausreichend, um zu zeigen, dass V4 ein Normalteiler ist?

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Ja. Aber du kannst es doch allgemeiner formulieren:

\(z\in V_4\) mit \(z\neq id\) hat zur Folge, dass

\(z=(a\; b)(c\;d)\) ist mit paarweise verschiedenen

\(a,b,c,d\in \{1,2,3,4\}\). Es ist dann

\(\pi\cdot (a\; b)(c\; d)\cdot \pi^{-1}= \dots \)

mit paarweise verschiedenen \(\pi(a),\pi(b),\pi(c),\pi(d)\) ...