Aufgabe:
Es sei die Funktion \( g: \mathbb{R}^{2} \longrightarrow \mathbb{R} \) gegeben durch
\(g(x, y):=\left\{\begin{array}{ll}\cfrac{x|y|}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} & \text { für }(x, y) \neq(0,0), \\ 0 & \text { für }(x, y)=(0,0) .\end{array}\right.\)
Beweisen Sie, dass in \( (0,0) \) alle Richtungsableitungen von \( g \) existieren, aber \( g \) in \( (0,0) \) nicht differenzierbar ist.
Problem/Ansatz:
Ich habe schon bewiesen, dass \(g\) in \((0,0)\) nicht differenzierbar ist. Ich tue mich schwer mit den Richtungsableitungen in \((0,0)\)
Ist \( a=(0,0) \) so folgt sofort \( \nabla_{a} f\left(x_{0}\right)=0 \)
Für einen beliebigen Vektor \( v=\left(\begin{array}{c}v_{1} \\ v_{2}\end{array}\right) \in \mathbb{R}^{2} \) und \( \|v\|=1 \) mit \( v \neq(0,0) \) gilt:
\(\nabla_{a} f(0,0)=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \cfrac{f(0+hv)-f(0,0)}{h}\)
\(=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \cfrac{\cfrac{h v_{1}\left|h v_{2}\right|}{\sqrt{\left(h v_{1}\right)^{2}+\left(h v_{2}\right)^{2}}}}{h}\)
\(=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \cfrac{h v_{1}\left|h v_{2}\right|}{\sqrt{\left(h v_{1}\right)^{2}+\left(h v_{2}\right)^{2} h}}\)
\(=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \cfrac{v_{1}\left|h v_{2}\right|}{\sqrt{v_{1}^{2}+v_{2}^{2}} h}\)
\(=\lim \limits_{h \rightarrow 0} \cfrac{v_{1}\left|h v_{2}\right|}{h}\)
\(=\lim \limits_{h \rightarrow 0} v_{1} \left|v_{2}\right| (*) \)
\(=v_{1} \left|v_{2}\right| = 0 \iff v_{1}=0 \quad \dot{\vee} \quad v_{2}=0 \)
In \((*)\) habe ich mich darauf bezogen, das \( h > 0\) ist. Für mich wirkt das alles sehr künstlich und ich muss sehr viele Fälle betrachten und bin am Zweifeln, ob überhaupt \(g\) überall in \((0,0)\) die Richtungsableitung hat. Was mache ich falsch, danke für jede Hilfe!
