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Aufgabe:

Die Fläche zwischen y = 2x - \( x^{2} \) und y = x wird um die y-Achse gedreht. Berechnen sie das Volumen des Rotationskörpers


Problem/Ansatz:

Hallo, ich weiß jemand was zu tun ist?

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Hallo, ich weiß jemand was zu tun ist?

Ja.

Und falls Du es auch wissen möchtest:

Man soll nicht das tun was im Titel steht, sondern

das Volumen des Rotationskörpers

berechnen.

Das Wie findet sich in Deinem Lehrbuch. Hast Du eine konkrete Frage dazu?

1 Antwort

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Aloha :)

~plot~ x ; 2x-x^2 ; [[-0,1|1,5|-0,10|1,1]] ~plot~

Die beiden Funktionen schneiden sich bei \((0|0)\) und \((1|1)\). Bei der Rotation der Kurve \(y=x\) um die y-Achse entsteht ein Kegel. Dieser hat einen Grundkreis mit dem Radius \(r=1\) und der Höhe \(h=1\). Sein Volumen beträgt daher:$$V_1=\frac13\pi r^2h=\frac\pi3$$

Von diesem Volumen \(V_1\) müssen wir das Volumen \(V_2\) subtrahieren, das durch die Rotation von \(y=2x-x^2\) im Intervall \(x\in[0;1]\) bzw. \(y\in[0;1]\) um die y-Achse entsteht. Bei der Rotation um die y-Achse entstehen Kreise senkrecht zur y-Achse mit Mittelpunkt auf der y-Achse und Radius \(x\). Ihre Fläche beträgt daher \(\pi x^2\). Diese Kreisflächen müssen wir für \(y\in[0;1]\) addieren.

$$V_2=\int\limits_{y=0}^1\pi x^2\,dy=\int\limits_{x=0}^1\pi x^2\,\frac{dy}{dx}\,dx=\int\limits_{x=0}^1\pi x^2(2-2x)\,dx=\pi\left[\frac23x^3-\frac12x^4\right]_{x=0}^1=\frac\pi6$$

Das gesuchte Volumen beträgt daher:$$V=V_1-V_2=\frac\pi3-\frac\pi6=\frac\pi6$$

Avatar von 152 k 🚀
$$V_2=\dots={\color{red}\pi}\left[\frac23x^3-\frac12x^4\right]_{x=0}^1=\frac16$$

\(\pi\) vergessen! Daher ist $$V = V_1-V_2 = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} \approx 0,524$$

Vielen Dank für den Hinweis!!!

Ich kam gestern von Dienstreise und habe nochmal zur Entspannung ins Forum geguckt. Dabei ist mir dieser Faux-Pas unterlaufen.

Habe den Bug korrigiert ;)

Es fiel mir auch erst auf, als ich es selber auf eine andere Weise nachgerechnet hatte. Höhe und Schwerpunkt eines Parabelsegments liegen immer in der Mitte - also bei \(0,5\). Die Fläche eines Parabelsegments ist immer \(2/3\) der Fläche des umhüllenden Parallelograms - also$$A= \frac23 \cdot (p(0,5)-g(0,5)) \cdot (1-0) = \frac16$$Der Schwerpunkt liegt ebenso bei \(x_s=0,5\), also ist das Volumen mit Umfang mal Fläche$$V = 2\pi x_{s}\cdot A = 2\pi\cdot 0,5 \cdot \frac16 = \frac{\pi}{6}$$

Eine sehr elegante Überlegung!

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