wie berechnet man den Flächeninhalt einer gedrehten Fläche?

Question

Aufgabe:

Der Graph der Kurve y = \( \sqrt{2x-x^2} \) , x ∈ [1/2,3/2] wird um die x Achse gedreht

es soll der flächeninhalt bestimmt werden.

Problem/Ansatz:

wie berechnet man den Flächeninhalt einer gedrehten Fläche? Im Normalfall müsste man die funktion nur integrieren und dann die grenzen einsetzen

Comments

wie berechnet man den Flächeninhalt einer gedrehten Fläche?

Es wird in dieser Aufgabe keine Fläche gedreht.

Answer 1

Aloha :)

Ganz so einfach ist die Berechnung der Oberfläche nicht. Es gilt:

$$F=2\pi\int\limits_{x=\frac12}^{\frac32}f(x)\cdot\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx=2\pi\int\limits_{x=\frac12}^{\frac32}\sqrt{2x-x^2}\cdot\sqrt{1+\left(\frac{1-x}{\sqrt{2x-x^2}}\right)^2}\,dx$$$$\phantom F=2\pi\int\limits_{x=\frac12}^{\frac32}\sqrt{2x-x^2}\cdot\sqrt{1+\frac{(1-x)^2}{2x-x^2}}\,dx=2\pi\int\limits_{x=\frac12}^{\frac32}\sqrt{2x-x^2+(1-2x+x^2)}\,dx$$$$\phantom F=2\pi\int\limits_{x=\frac12}^{\frac32}1\,dx=2\pi$$

Comments

Ich musste meine Antwort nochmal überarbeiten, weil ich Dussel das Volumen anstatt der Oberfläche bestimmt hatte. Nun sollte alles passen ;)

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Dreidimensionaler Versuch:

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Das wäre aber nur die Mantelfläche im Intervall [0.5 ; 1.5]. Redet man von der Oberfläche würde ich erwarten das die Kreisflächen bei x = 0.5 und x = 1.5 mit dazu gezählt werden.

Allerdings ist schon die Aufgabenstellung unterirdisch schlecht formuliert. Normal sagt man, die Fläche rotiert um die x-Achse und nicht die Fläche wird gedreht. Vermutlich hat da jemand an eine Drehbank gedacht.