Aloha :)
Plotlux öffnen f1(x) = xf2(x) = 2x-x2Zoom: x(-0,1…1,5) y(-0,1…1,1)
Die beiden Funktionen schneiden sich bei (0∣0) und (1∣1). Bei der Rotation der Kurve y=x um die y-Achse entsteht ein Kegel. Dieser hat einen Grundkreis mit dem Radius r=1 und der Höhe h=1. Sein Volumen beträgt daher:V1=31πr2h=3π
Von diesem Volumen V1 müssen wir das Volumen V2 subtrahieren, das durch die Rotation von y=2x−x2 im Intervall x∈[0;1] bzw. y∈[0;1] um die y-Achse entsteht. Bei der Rotation um die y-Achse entstehen Kreise senkrecht zur y-Achse mit Mittelpunkt auf der y-Achse und Radius x. Ihre Fläche beträgt daher πx2. Diese Kreisflächen müssen wir für y∈[0;1] addieren.
V2=y=0∫1πx2dy=x=0∫1πx2dxdydx=x=0∫1πx2(2−2x)dx=π[32x3−21x4]x=01=6π
Das gesuchte Volumen beträgt daher:V=V1−V2=3π−6π=6π