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Aufgabe:

Die Fläche zwischen y = 2x - x2 x^{2} und y = x wird um die y-Achse gedreht. Berechnen sie das Volumen des Rotationskörpers


Problem/Ansatz:

Hallo, ich weiß jemand was zu tun ist?

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Hallo, ich weiß jemand was zu tun ist?

Ja.

Und falls Du es auch wissen möchtest:

Man soll nicht das tun was im Titel steht, sondern

das Volumen des Rotationskörpers

berechnen.

Das Wie findet sich in Deinem Lehrbuch. Hast Du eine konkrete Frage dazu?

1 Antwort

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Aloha :)

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f1(x) = xf2(x) = 2x-x2Zoom: x(-0,1…1,5) y(-0,1…1,1)

Die beiden Funktionen schneiden sich bei (00)(0|0) und (11)(1|1). Bei der Rotation der Kurve y=xy=x um die y-Achse entsteht ein Kegel. Dieser hat einen Grundkreis mit dem Radius r=1r=1 und der Höhe h=1h=1. Sein Volumen beträgt daher:V1=13πr2h=π3V_1=\frac13\pi r^2h=\frac\pi3

Von diesem Volumen V1V_1 müssen wir das Volumen V2V_2 subtrahieren, das durch die Rotation von y=2xx2y=2x-x^2 im Intervall x[0;1]x\in[0;1] bzw. y[0;1]y\in[0;1] um die y-Achse entsteht. Bei der Rotation um die y-Achse entstehen Kreise senkrecht zur y-Achse mit Mittelpunkt auf der y-Achse und Radius xx. Ihre Fläche beträgt daher πx2\pi x^2. Diese Kreisflächen müssen wir für y[0;1]y\in[0;1] addieren.

V2=y=01πx2dy=x=01πx2dydxdx=x=01πx2(22x)dx=π[23x312x4]x=01=π6V_2=\int\limits_{y=0}^1\pi x^2\,dy=\int\limits_{x=0}^1\pi x^2\,\frac{dy}{dx}\,dx=\int\limits_{x=0}^1\pi x^2(2-2x)\,dx=\pi\left[\frac23x^3-\frac12x^4\right]_{x=0}^1=\frac\pi6

Das gesuchte Volumen beträgt daher:V=V1V2=π3π6=π6V=V_1-V_2=\frac\pi3-\frac\pi6=\frac\pi6

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V2==π[23x312x4]x=01=16V_2=\dots={\color{red}\pi}\left[\frac23x^3-\frac12x^4\right]_{x=0}^1=\frac16

π\pi vergessen! Daher ist V=V1V2=π3π6=π60,524V = V_1-V_2 = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} \approx 0,524

Vielen Dank für den Hinweis!!!

Ich kam gestern von Dienstreise und habe nochmal zur Entspannung ins Forum geguckt. Dabei ist mir dieser Faux-Pas unterlaufen.

Habe den Bug korrigiert ;)

Es fiel mir auch erst auf, als ich es selber auf eine andere Weise nachgerechnet hatte. Höhe und Schwerpunkt eines Parabelsegments liegen immer in der Mitte - also bei 0,50,5. Die Fläche eines Parabelsegments ist immer 2/32/3 der Fläche des umhüllenden Parallelograms - alsoA=23(p(0,5)g(0,5))(10)=16A= \frac23 \cdot (p(0,5)-g(0,5)) \cdot (1-0) = \frac16Der Schwerpunkt liegt ebenso bei xs=0,5x_s=0,5, also ist das Volumen mit Umfang mal FlächeV=2πxsA=2π0,516=π6V = 2\pi x_{s}\cdot A = 2\pi\cdot 0,5 \cdot \frac16 = \frac{\pi}{6}

Eine sehr elegante Überlegung!

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