Berechnen des Volumens einer gedrehten Fläche?

Question

Aufgabe:

Die Fläche zwischen y = 2x - $x^{2}$ und y = x wird um die y-Achse gedreht. Berechnen sie das Volumen des Rotationskörpers

Problem/Ansatz:

Hallo, ich weiß jemand was zu tun ist?

Comments

Hallo, ich weiß jemand was zu tun ist?

Ja.

Und falls Du es auch wissen möchtest:

Man soll nicht das tun was im Titel steht, sondern

das Volumen des Rotationskörpers

berechnen.

Das Wie findet sich in Deinem Lehrbuch. Hast Du eine konkrete Frage dazu?

Answer 1

Aloha :)

Plotlux öffnen

f₁(x) = xf₂(x) = 2x-x²Zoom: x(-0,1…1,5) y(-0,1…1,1)

Die beiden Funktionen schneiden sich bei $(0|0)$ und $(1|1)$. Bei der Rotation der Kurve $y=x$ um die y-Achse entsteht ein Kegel. Dieser hat einen Grundkreis mit dem Radius $r=1$ und der Höhe $h=1$. Sein Volumen beträgt daher:$$V_1=\frac13\pi r^2h=\frac\pi3$$

Von diesem Volumen $V_1$ müssen wir das Volumen $V_2$ subtrahieren, das durch die Rotation von $y=2x-x^2$ im Intervall $x\in[0;1]$ bzw. $y\in[0;1]$ um die y-Achse entsteht. Bei der Rotation um die y-Achse entstehen Kreise senkrecht zur y-Achse mit Mittelpunkt auf der y-Achse und Radius $x$. Ihre Fläche beträgt daher $\pi x^2$. Diese Kreisflächen müssen wir für $y\in[0;1]$ addieren.

$$V_2=\int\limits_{y=0}^1\pi x^2\,dy=\int\limits_{x=0}^1\pi x^2\,\frac{dy}{dx}\,dx=\int\limits_{x=0}^1\pi x^2(2-2x)\,dx=\pi\left[\frac23x^3-\frac12x^4\right]_{x=0}^1=\frac\pi6$$

Das gesuchte Volumen beträgt daher:$$V=V_1-V_2=\frac\pi3-\frac\pi6=\frac\pi6$$

Comments

$$V_2=\dots={\color{red}\pi}\left[\frac23x^3-\frac12x^4\right]_{x=0}^1=\frac16$$

$\pi$ vergessen! Daher ist $$V = V_1-V_2 = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6} \approx 0,524$$

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Vielen Dank für den Hinweis!!!

Ich kam gestern von Dienstreise und habe nochmal zur Entspannung ins Forum geguckt. Dabei ist mir dieser Faux-Pas unterlaufen.

Habe den Bug korrigiert ;)

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Es fiel mir auch erst auf, als ich es selber auf eine andere Weise nachgerechnet hatte. Höhe und Schwerpunkt eines Parabelsegments liegen immer in der Mitte - also bei $0,5$. Die Fläche eines Parabelsegments ist immer $2/3$ der Fläche des umhüllenden Parallelograms - also$$A= \frac23 \cdot (p(0,5)-g(0,5)) \cdot (1-0) = \frac16$$Der Schwerpunkt liegt ebenso bei $x_s=0,5$, also ist das Volumen mit Umfang mal Fläche$$V = 2\pi x_{s}\cdot A = 2\pi\cdot 0,5 \cdot \frac16 = \frac{\pi}{6}$$

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Eine sehr elegante Überlegung!