An welcher Stelle x_{0} besitzt das Schaubildes der Funktion f einen Extremwert?

Question

Aufgabe:

Text erkannt:

Gegeben ist die Funktion
\( f(x)=(5 \cdot x+4) \cdot e^{-3 \cdot x-6} \)
a) An welcher Stelle \( x_{0} \) besitzt das Schaubildes der Funktion \( f \) einen Extremwert?
\( x_{0}=-(7 / 15) \)
Ihre letzte Antwort wurde folgendermaßen interpretiert:
\( -\frac{7}{15} \)
b) Ist der Extremwert bei \( x_{0} \) ein Hochpunkt oder Tiefpunkt?
Tiefpunkt
Ihre letzte Antwort wurde folgendermaßen interpretiert:
Tiefpunkt

Problem/Ansatz:

Kann mir jemand erklären wie die Person das gerechnet hat?

Answer 1

Leite f(x) mit der Produktregel ab und setze die Ableitung 0.

Zur Kontrolle:

https://www.ableitungsrechner.net/

Setze den Wert in die 2. Ableitung ein:

falls f''(x) > 0 -> Minimum, falls <0 -> Maximum

Comments

Setze den Wert in die 2. Ableitung ein

Das funktioniert natürlich, ist bei dieser Funktion aber sehr rechenaufwändig und fehleranfällig (siehe vorgeschlagene Lösung). Daher lohnt es sich, nach einer anderen Begründung zu suchen, die z.B. auf einer Betrachtung des Verhaltens für x→±∞ und Nullstellen beruhen kann.

Answer 2

f(x) = e^(- 3·x - 6)·(5·x + 4)

f'(x) = e^(- 3·x - 6)·(-15·x - 7) = 0

x = -7/15 ist Nullstelle mit Vorzeichenwechsel von + nach - und daher ist an der Stelle ein Hochpunkt.