Anzahl der Jordankästchen durch Dimension von Kern bestimmen

Question

sei A∈Mat₃₃(R) reelle nilpotente Matrix. Berechne Anzahl der auftauchenden Jordankästchen.

geg.:

dim (ker (f_A)) = 9,

dim (ker (f_A^2)) = 15,

dim (ker (f_A^3)) = 20,

... und weitere Dimensionen bis schließlich: dim (ker (f_A^i)) = 33, für i ≥ 8

Wie ist hier das Vorgehen? Ich dachte geom. Vf. = Anzahl Jordankästchen für den jeweiligen Eigenwert.

Da A nilpotent: 0 einziger Eigenwert => ein Jordanblock

da ker(f - 0*idv) = Eig(f,0) = ker(f) und dim(Eig(f,0)) = geom. Vf. = dim (ker (f_A)) = 9 , wäre ja 9 die Anzahl an Jordankästchen.

Anscheinend habe ich aber ein Denkfehler, da die Antwort so erfolgen soll: es gibt ...-Mal J₁, ...-Mal J₂, ... , ...-Mal J₁₀

Vielen Dank!