Zeigen Sie, dass det (f(ϕ)) = f(0)^dimK(V)

Question

Aufgabe:

Es sei V ein endlich-dimensionaler Vektorraum über einem Körper K und ϕ ein nilpotenter Endomorphismus von V, d.h. es existiert ein m ∈ ℕ mit ϕ^m = 0. Ferner sei f(X) ∈ K[X]
ein Polynom. Zeigen Sie, dass

det (f(ϕ)) = f(0)^dimK(V)

Problem/Ansatz:

Als Tipp wurde uns mitgegeben die Matrixdarstellung M(ϕ) in Jordan Normalform (grob) darzustellen.

Answer 1

Ein paar Tipps:

Auf der Hauptdiagonalen einer oberen Dreiecksmatrix stehen die Eigenwerte der Matrix.

Die Jordan-Form ist eine obere Dreiecksmatrix.

Die Potenz einer oberen Dreiecksmatrix ist wieder eine obere Dreiecksmatrix.

Eine nilpotente Matrix hat nur den Eigenwert 0. Was steht also auf der Hauptdiagonalen der Jordan-Form zu \(M(\phi)\)?

Der Rest ist nur Einsetzen in ein allgemeines Polynom und Anschauen der Hauptdiagonalen.