Aufgabe:
Bestimme alle zusammenhängenden Teilmengen von:
Q (mit der euklidischen Metrik).
N (mit der p-adischen Metrik wobei p ≥ 2 Primzahl).
Problem/Ansatz:
Wir haben zusammenhängende Teilmengen so definiert:
Dazu nennen wir eine Teilmenge E eines metrischen Raumes zusammenhängend, wenn man E nicht als Vereinigung zweier nichtleerer getrennter Mengen schreiben kann. Dabei heißen A und B getrennt, wenn c(A) ∩ B = A ∩ c(B) = ∅.
Wobei c(A) bzw. c(B) jeweils der Abschluss von A bzw. B ist. Dieser ist so definiert: Ist <X,d> ein metrischer Raum und E ⊆ X, so wollen wir die Menge aller x, die eine der Bedingungen (i), (ii) oder (iii) erfüllen, als Abschluss der Menge E bezeichnen, und c(E) dafür schreiben.
(i) x ist isolierter Punkt von E.
(ii) x ∈ E und x ist Häufungspunkt von E.
(iii) x ∉ E und x ist Häufungspunkt von E.
Leider finde ich keine passenden Teilmengen von Q, welche man nicht als Vereinigung von getrennten Mengen schreiben kann.
