Stetigkeit Funktionen zweier Variablen

Question

Text erkannt:

a) Untersuche die Funktion \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \),
\( f(x, y):=\left\{\begin{array}{ll} \frac{x^{2} y}{x^{4}+y^{2}}, & (x, y) \neq(0,0), \\ 0, & (x, y)=(0,0) \end{array}\right. \)
auf Stetigkeit an allen Stellen \( \left(x_{0}, y_{0}\right) \in \mathbb{R}^{2} \backslash\{(0,0)\} \).

Könnte mit jemand bei der Aufgabe helfen? Hab noch nicht ganz verstanden wie ich die Stetigkeit solcher Funktionen beweisen kann.

Comments

Warum \(\R^2\to\R^2\) ? Und wäre es nicht sinnvoller auf Stetigkeit im Punkt \((0,0)\) zu untersuchen?

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Achso ja, die Fkt. Soll von ℝ²→ℝ gehen und die Aufgabe b) wäre nämlich genau das gewesen, die Fkt. In (0,0) auf Stetigkeit zu untersuchen. Mein Fehler. Würde mich trotzdem um Hilfe freuen

Answer 1

Aloha :)

Die Funktion ist als gebrochen-rationale Funktion mit Zähler- und Nennerpolynom überall stetig, wo der Nenner nicht verschwindet, also für alle \((x;y)\ne(0;0)\).

Im Punkt \((0|0)\) ist die Funktion hingegen unstetig. Für Stetigkeit müssten wir nämlich auf allen möglichen Wegen zum Punkt \((0|0)\) zu dem Funktionswert \(f(0;0)\) gelangen.

Wir wählen den Weg \((\red{x_n};\green{y_n})=(\red{\frac1n};\green{\frac{1}{n^2}})\) mit \(n\to\infty\) und prüfen, wo er uns hinführt:$$\lim\limits_{n\to\infty}f(\red{x_n};\green{y_n})=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\left(\red{\frac1n}\right)^2\cdot\green{\frac{1}{n^2}}}{\left(\red{\frac1n}\right)^4+\left(\green{\frac{1}{n^2}}\right)^2}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{\frac{1}{n^4}}{\frac{1}{n^4}+\frac{1}{n^4}}=\lim\limits_{n\to\infty}\frac12=\frac12\ne0=f(0;0)$$

Wir haben also einen Weg gefunden, der uns zum Grenzwert \(\frac12\) führt, der offensichtlich von dem Funktionswert \(f(0;0)=0\) verschieden ist.

Daher ist die Funktion nicht stetig in \((0|0)\).

Comments

In Bezug auf a) wie kann ich das genau zeigen, dass solche „Polynombrüche“ auch mit zwei Variablen such stetig sind solange der Nenner nicht 0 wird? Ich weiß, dass das für Funktionen mit einer Variable gilt, lässt sich das irgendwie dadurch ableiten?

Ansonsten Danke!