Beweis des Zusammenhangs der Stetigkeit zweier Funktionen

Question

Aufgabe:

Sei  $$f : [0, \inf] \to \mathbb{R}$$ stetig und sei $$f(0) = 0 $$ Ferner sei f differenzierbar und sei f monoton wachsend.
Beweisen Sie, dass $$g: (0, \inf) \to \mathbb{R}, g(x) = \frac{f(x)}{x}$$ monoton wachsend ist.


Problem/Ansatz:

Ich habe derzeit keinen.

Versucht habe ich das übliche:

$$g'(x) = \frac{f'(x)*x-f(x)}{x^2}$$ beziehungsweise (je nach Herleitung / Umstellung) $$g'(x) = \frac{f'(x)}{x}-\frac{f(x)}{x^2}$$

Aber dafür müsste ich das Verhalten von f und f' vergleichen können.

Comments

Sei f stetig  ...  Ferner sei f differenzierbar

hört sich verdächtig an.

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Achtung!

Die 1. Ableitung ist monoton steigend! Nicht nur f!

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Die 1. Ableitung ist monoton steigend! Nicht nur f!

Was denn nun? Muss f auch monoton steigend sein?

Schau mal hier:

https://www.mathelounge.de/434597/beweis-dass-dann-auch-die-erklarte-funktion-monoton-wachsend

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Yes. Das sieht ziemlich gut aus.

Answer 1

Gegenbeispiel:

$$ f(x) = \arctan(x) $$

ist stetig, sogar stetig differenzierbar, (streng) monoton wachsend und es gilt \( f(0) = 0 \). Skizze:

~plot~ atan(x); atan(x)/x ~plot~

Der Graph von f ist blau, der von g ist rot. Wie du siehst ist g nicht monoton wachsend.

Comments

danke schon mal für die Hilfe! Ich kann meine Frage nicht mehr korrigieren, aber bei der Umstellung ist mir ein Ableitungszeichen abhanden gekommen.

Die 1. Ableitung von f(x) ist monton steigend!