reelles Polynom als komplexe Polynom

Question

Aufgabe:

Moinsen, mich würde interessieren, weshalb man reelle Polynome als komplexe Polynome mit reellen Koeffizienten auffassen kann?

Schönen Dank für jede Antwort.

Answer 1

Ein komplexes Polynom mit reellen Koeffizienten hat die

Gestalt \(p=\sum_{i=0}^n a_iX^i\) mit \(a_i\in \mathbb{R}\) für

\(i=0,\cdots,n\). Da \(\mathbb{R}\subseteq \mathbb{C}\) ist,

sind die \(a_i\) "automatisch" auch komplexe Zahlen, also

\(p\in \mathbb{C}[X]\)

Comments

Wenn man das Polynom als komplex auffasst, kann man doch auch für x komplexe Zahlen einsetzten, ändert dies nichts? Bsw. könnten dadurch doch komplexe Nullstellen entstehen.

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Ist R ein Ring, so nennt man die Elemente aus R[X] R-Polynome.

Ist S ein Oberring von R, so ist ein R-Polynom auch ein S-Polynom.

Welcher Art die Elemente sind, die man einsetzt, ist dabei gar nicht

mitgedacht. In der linearen Algebra lernt man sogar, dass man auch

Endomorphismen in Polynome einsetzen kann (Cayley-Hamilton).

Z.B. ist auch jedes ganzzahlige Polynom ein reelles Polynom ...