gerades reelles Polynom, algebraische Vielfachheit

Question

Aufgabe:

Gegeben ist g: A -> B eine Funktion.

Jetzt muss ich beweisen, dass wenn g ein gerades reelles Polynom vom Grad N ist, jede reelle Nullstelle ungleich 0 maximal die algebraische Vielfachheit von N/2 besitzt.

Problem/Ansatz:

Das hat ja irgendwas mit der Linearfaktorzerlegung zu tun, aber ich weiß nicht wie ich hier vorgehen soll.

Comments

In der Überschrift steht was von "gerade", in der Aufgabe nicht ???

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Ja sorrry ich meinte ein gerades reelles Polynom.

Answer 1

"gerade" heißt ja: Der Graph ist achsensymmetrisch zur y-Achse.

==>  wenn a>0 eine Nullstelle ist, dann auch -a.

Also gibt es zu jeder reellen Nullstelle a ungleich 0 eine zweite

nämlich -a . Und weil a≠0 ist, sind die beiden verschieden.

Jede davon führt zu einem Linearfaktor (x-a) bzw. (x+a) ,

Und die treten wegen der Symmetrie beide mit der gleichen algebraischen

Vielfachheit auf. Da es aber insgesamt höchsten (mit der Vielfachheit gerechnet)

N Linearfaktoren geben kann, bleibt für jede Sorte  höchstens N/2.