Eine Funktion 5. Grades geht durch 6 beliebige Punkte.
u(x) = a·x^5 + b·x^4 + c·x^3 + d·x^2 + e·x + f
u(-2) = 12 u(-1) = -8 u(0) = -8 u(1) = -6 u(2) = 4 u(3) = 52
- 32·a + 16·b - 8·c + 4·d - 2·e + f = 12 -a + b - c + d - e + f = -8 f = -8 a + b + c + d + e + f = -6 32·a + 16·b + 8·c + 4·d + 2·e + f = 4 243·a + 81·b + 27·c + 9·d + 3·e + f = 52
Wenn ich das löse erhalte ich
a = 0 ∧ b = 1 ∧ c = -1 ∧ d = 0 ∧ e = 2 ∧ f = -8
u(x) = x^4 - x^3 + 2·x - 8
Man braucht also nur eine Funktion 4. Grades.
Wie geht man vor, wenn die Punkte (-1,1),(0,0),(1,1) gegeben wären? Ein Polynom 2. Grades geht durch drei beliebige Punkte, aber das Polynom p=x geht durch alle drei Punkte und kein konstantes Polynom geht durch alle drei Punkte, also hat das Polynom minimalen Grades nicht Grad 2 sondern 1. Wie geht man in diesem Fall an das Problem heran?
> Wie geht man vor, wenn die Punkte (-1,1),(0,0),(1,1) gegeben wären?
Wie kommst du auf die Idee, dass die Gerade p(x) = x durch diese drei Punkte verläuft?
Du meinst wahrscheinlich (-1,-1),(0,0),(1,1) - und die Herangehensweise ist identisch wie oben. Letztlich ist ein lineares Gleichungssystem zu lösen - hier mit drei Unbekannten statt mit 6 wie oben.
In Deinem Fall wäre das \(a\) und das \(c\) in \(p(x)=ax^2+bx+c\) eben \(=0\).
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