Aufgabe:
Betrachtet wird die Funktion \( f:\left(\frac{6}{2}, \infty\right) \rightarrow \mathbb{R}, f(x):=\ln \left(\frac{x^{3}}{2x-6}\right) \)
(a) Zeigen Sie, dass für die Ableitung die Formel
\( f^{\prime}(x)=\frac{4x-18}{x(4x-6)} \)
gilt.
(b)Bestimmen Sie alle diejenigen Werte \( x \in\left(\frac{6}{4}, \infty\right) \), für die der Anstieg der Tangente der Funktion \( f \) an der Stelle \( x \) gleich \( \frac{4}{x} \) ist. \( f^{\prime}(x)=\frac{4x-18}{x(2x-6)} \)
(c) Bestimmen Sie alle Stellen x, an denen die Funktion f lokale Minima oder Maxima
besitzt.
Problem/Ansatz:
a)
Um die Ableitung von \( f(x) \) zu berechnen, verwenden wir die Ableitungsregeln. Beginnen wir mit der gegebenen Funktion:
\( f(x)=\ln \left(\frac{x^{3}}{2 x-6}\right) \)
Wir möchten die Ableitung \( f^{\prime}(x) \) bestimmen. Dazu verwenden wir die Kettenregel und die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion.
Die Kettenregel besagt, dass für eine Funktion \( g(x)=h(u(x)) \) gilt:
\( g^{\prime}(x)=h^{\prime}(u(x)) \cdot u^{\prime}(x) \)
In unserem Fall ist \( h(u)=\ln (u) \) und \( u(x)=\frac{x^{3}}{2 x-6} \). Die Ableitung der natürlichen Logarithmusfunktion ist \( h^{\prime}(u)=\frac{1}{u} \).
Anwendung der Kettenregel:
\( f^{\prime}(x)=\frac{1}{u(x)} \cdot u^{\prime}(x) \)
Nun müssen wir \( u^{\prime}(x) \) berechnen. Dazu verwenden wir die Quotientenregel.
\( q^{\prime}(x)=\frac{r^{\prime}(x) \cdot s(x)-r(x) \cdot s^{\prime}(x)}{(s(x))^{2}} \)
In unserem Fall ist \( r(x)=x^{3} \) und \( s(x)=2 x-6 \)
Berechnung von \( r^{\prime}(x) \) :
\( r^{\prime}(x)=3 x^{2} \)
Berechnung von \( s^{\prime}(x) \) :
\( s^{\prime}(x)=2 \)
Anwendung der Quotientenregel:
\( u^{\prime}(x)=\frac{3 x^{2} \cdot(2 x-6)-x^{3} \cdot 2}{(2 x-6)^{2}} \)
Nun setzen wir \( u^{\prime}(x) \) in die Ableitung von \( f(x) \) ein:
\( f^{\prime}(x)=\frac{2 x-6}{x^{3}} \cdot \frac{3 x^{2} \cdot(2 x-6)-x^{3} \cdot 2}{(2 x-6)^{2}} \)
Dann ausrechnen:
\( f^{\prime}(x)=\frac{4x^{3}-18x^{2}}{(2x-6)x^{3}} \)
Nur ist jetz mein Kopf komplett zu und hab grad kein Plan wie ich zu dem \( f^{\prime}(x)=\frac{4x-18}{x(4x-6)} \) kommen soll. Würde irgendiwe was mit x^{2} ausklammern.
b)
Um den Anstieg der Tangente der Funktion \( f \) an der Stelle \( x \) zu bestimmen, müssen wir die Ableitungsfunktion \( f^{\prime}(x) \) verwenden und sie gleich dem gegebenen Wert \( \frac{4}{x} \) setzen.
Die Ableitungsfunktion von \( f \) ist gegeben durch \( f^{\prime}(x)=\frac{4 x-18}{x(2 x-6)} \).
Setzen wir \( f^{\prime}(x) \) gleich \( \frac{4}{x} \) und lösen nach \( x \) auf:
\( \frac{4 x-18}{x(2 x-6)}=\frac{4}{x} \)
Dann mal \(x \) und mal \(x(2x-6) \):
\( x(4 x-18)=4(x(2 x-6)) \)
Multiplizieren wir die Klammern aus:
\( 4 x^{2}-18 x=8 x^{2}-24 x \)
Subtrahieren wir \(8 x^{2}-24 x \) von beiden Seiten:
\( 4 x^{2}-18 x-8 x^{2}+24 x=0 \)
Kombinieren wir ähnliche Terme:
\( -4 x^{2}+6 x=0 \)
Faktorisieren wir die Gleichung:
\( -2 x(2 x-3)=0 \)
Wenn wir die erste Gleichung lösen, erhalten wir x=0
Wenn wir die zweite Gleichung lösen, erhalten wir: x = 2/3
c)
Um die Stellen zu finden, an denen die Funktion f lokale Minima oder Maxima besitzt, müssen wir die Ableitungsfunktion f′(x) bestimmen und die Nullstellen von f′(x) finden. An diesen Nullstellen ändert die Steigung das Vorzeichen und es können lokale Minima oder Maxima auftreten.
Um die Nullstellen von f′(x) zu finden, setzen wir f′(x) gleich null und lösen nach x auf:
\( \frac{4 x-18}{x(2 x-6)}=0 \)
\(x=\frac{9}{2}\)
Um herauszufinden, ob es sich um ein lokales Minimum oder Maximum handelt, können wir die zweite Ableitung f′′(x)berechnen. Falls f′′(x)>0 an dieser Stelle ist, handelt es sich um ein lokales Minimum. Falls f′′(x)<0 an dieser Stelle ist, handelt es sich um ein lokales Maximum.
\( f^{\prime \prime}(x)=\frac{2x^{3}-8x+9}{(x(x-3)^{3}} \)
Dann \(x=\frac{9}{2}\) einsetzen:
\( f^{\prime \prime}\left(\frac{9}{2}\right)=\frac{124}{27}>0 \)
Da \( f^{\prime \prime}\left(\frac{9}{2}\right)>0 \), handelt es sich bei \( x=\frac{9}{2} \) um ein lokales Minimum der Funktion \( \mathrm{f} \).
Ich würde gerne wissen, ob ich was richtig gemacht habe und wenn ich was falsches gemacht habe, ob ihr mir da helfen könntet
