LGS, hinreichende Bedingung für Existenz genau einer Lösung

Question

Es sei das LGS in der Form

$x_{i}=\sum \limits_{j=1}^{n} a_{i j} x_{j}+b_{i} \quad(i=1, \ldots, n)$

gegeben mit a_{i j}, b_i ∈ R (i, j = 1,...,n).

Zeige, dass die Bedingung

$\sum \limits_{i, j=1}^{n} a_{i j}^{2}<1$

hinreichend ist für die Existenz genau einer Lösung.

Weiß jemand, warum das so ist?

Answer 1

Es ist $\sum_{i,j=1}^n a_{ij}^2=\|A\|_F^2$, wobei $\|.\|_F$ die Frobeniusnorm ist.

Da dies eine zur euklidischen Vektornorm kompatible

Matrixnorm ist gilt für jeden Eigenwert $\lambda$ von $A$:

$|\lambda| \leq \|A\|_F$, Nach unseren Voraussetzugen also

$|\lambda|< 1$, d.h. insbesondere ist 1 kein Eigenwert von $A$ und

somit $1\cdot E_n-A$ invertierbar, d.h. das LGS

$x=A\cdot x+b$ hat genau eine Lösung.