Zeigen oder widerlege

Question

Aufgabe:

Zeigen oder widerlege

a)Sei (G, ·, e) eine Gruppe. Eine Teilmenge H von G ist genau dann eine Untergruppe, falls
H nicht leer ist und ab−1 ∈ H ist für alle a, b ∈ H.

b) In jeder Gruppe (G, ·, e) gilt (a · b)^-1=a^-1*b^-1 für alle a, b ∈ G.

c) Für jede ganze Zahl m existiert eine Verknüpung +_m auf der Menge der ganzen Zahlen
ℤ, sodass (ℤ, +_m, m) eine Gruppe bildet.

Problem/Ansatz:

Ich brauche Hilfe bei dieser Aufgabe meine Überlegungen sind:

a) Gegenbeispiel: G={1,-1} und die Teilmenge H={1} von G ⇒ a^-1=-1 und nicht in H enthalten ⇒Daher erfüllt H nicht die Bedingung ab^-1 ∈ H für alle a, b ∈ H.

b) keine Ahnung

c)keine Ahnung

danke im voraus!

Answer 1

a) Zu einer Gruppe gehört eine Verknüpfung. Dein Gegenbeispiel ist deshalb unvollständig.

b) (a · b)^-1=a^-1·b^-1 gilt nur dann für alle a, b ∈ G, wenn G kommutativ ist.

Im Allgemeinen ist (a · b)^-1 = b^-1·a^-1.

Gegenbeispiel ist die Gruppe der invertierbaren 2×2-Matrizen über ℚ.

c) Ja. a +_m b = a + b + m

Answer 2

Zu c):

bei den bisher hier angegebenen Verknüpfungen ist \(m\) nicht das

neutrale Element, schlage daher stattdessen

\(a+_mb=(a-m)+(b-m)+m\) vor.

Ich habe es absichtlich so seltsam aufgeschrieben.

Comments

Warum habe ich das so aufgeschrieben?

Nun, wenn z.B. \(m\geq 0\) ist, verschiebe man \(a\) und \(b\)

um \(m\) auf dem Zahlenstrahl nach links, addiere dann und schiebe

das Resultat wieder um \(m\) nach rechts ....

Answer 3

a) Dein Gegenbeispiel stimmt so nicht. Ist die Verknüpfung bei dir +, dann ist es keine Gruppe, da 1+1=2 und ist die Verknüpfung *, so ist 1^{-1}=1, da e=1.

$$ ab^{-1} \in H \Rightarrow aa^{-1}=e \in H$$

$$Für \quad a=e \quad gilt: \quad eb^{-1}=b^{-1} \in H$$

b)

Gilt nicht.

z.B.

$$GL(2,\mathbb{R}) \quad( \begin{pmatrix}1 & 1\\0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & 1\\0 & 3 \end{pmatrix})^{-1}=\begin{pmatrix}1 & 4\\0 & 6 \end{pmatrix}^{-1}=\quad \begin{pmatrix}1 & \frac{-2}{3}\\ \\0 & \frac{1}{6} \end{pmatrix} \neq \begin{pmatrix}1 & \frac{-1}{2}\\ \\0 & \frac{1}{6} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & \frac{-1}{2}\\ \\0 & \frac{1}{2} \end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 & \frac{-1}{3}\\ \\0 & \frac{1}{3} \end{pmatrix}$$

$$=\begin{pmatrix}1 & 1\\0 & 2 \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix}1 & 1\\0 & 3 \end{pmatrix}^{-1}$$

c)
$$a+_m b=a+b+m$$


LG

Comments

@MC
Das zeigt, dass deine Regel zwar womöglich für die Uni, aber hier nicht gilt.

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:) Natürlich ist mir bewusst, dass zwei unabhängige Lösungen kein Garant für die Richtigkeit ist.

Es gibt viele Fälle, die dem widersprechen. Aber in der Uni haben wir solche Übungsaufgaben erstmal abgehakt. Es sei denn, man erfährt später, dass es trotzdem verkehrt war. Das war aber bei uns eher selten der Fall oder ist nie, mangels einer richtigen Lösung, aufgefallen.