Ja, \(U_1\cdot U_2\) ist eine Untergruppe:
1. Abgeschlossenheit:
Seien \(u_1u_2, v_1v_2\in U_1\cdot U_2\), wobei \(u_1,v_1\in U_1, u_2,v_2\in U_2\) ist.
Dann gilt:
\((u_1u_2)(v_1v_2)=u_1(u_2v_1)v_2\).
Da \(U_2\) Normalteiler ist, haben wir: \(u_2v_1\in U_2v_1=v_1U_2\).
Daher gibt es \(w_2\in U_2\) mit \(u_2v_1=v_1w_2\), also
\(u_1(u_2v_1)v_2=u_1(v_1w_2)v_2=(u_1v_1)(w_2v_2)\in U_1\cdot U_2\)
2. Inverses:
Sei \(u_1u_2\in U_1\cdot U_2\). Dann gilt:
\((u_1u_2)^{-1}=u_2^{-1}u_1^{-1}\in U_2u_1^{-1}=u_1^{-1}U_2 \subset U_1\cdot U_2\).
3. Neutrales Element ist klar.
