Wie zeige ich, dass (Z, Stern) eine Untergruppe von (G, Stern) ist?

Question

Könnte mir jemand einen Lösungsweg für diese Aufgabe schicken? Eine kurze beschreibung wie ich bei weiteren dieser Aufgaben vorgehen soll wäre Hilfreich. :)

Answer 1

assoziativ ist ja klar, gilt für die ganze Gruppe.

Sei also a aus G.

neutrales El von Z ist  das neutr. El e von G, denn für alle

z aus Z  ( Diese sind ja insbesondere auch aus G ) gilt

z*e= e*z . Und e liegt in Z, weil natürlich auch   e*a = a*e = a  

gilt.

Sei also z aus Z. Dann ist das Inverse von z wie in der Gruppe G

auch ein Element z1.  Damit Z eine Untergruppe ist, muss

also z1 auch in Z sein, es ist also zu prüfen, ob z1 * a = a * z1 gilt.

Dem ist so; denn     a*z = z*a   von links mit z1 multipliziert gibt

z1 * ( a*z*) = z1 * ( z*a)

(z1 *  a)*z* = (z1 * z) *a

(z1 *  a)*z* = e *a

(z1 *  a)*z* = a   jetzt von rechts mit z1 multipliziert

gibt letztendlich       z1*a = a*z1   also z1 auch aus Z.