Zeigen Sie, dass U1 ∩ U2 eine Untergruppe von G ist.

Question

Aufgabe:

Sei (G, ◊, e) eine Gruppe und U₁ , U₂ ⊂ G Untergruppen von G.

Zeigen Sie, dass U₁ ∩ U₂ eine Untergruppe von G ist.

Problem/Ansatz:

Wie führt man einen mathematisch korrekten Beweis zu Untergruppen durch?

Answer 1

wie bei

https://www.mathelounge.de/895881/zeigen-sie-dass-h-eine-untergruppe-von-2-ist?show=895887#a895887

            1. nicht leer ist
            2. abgeschlossen ist
            3. das neutrale Element und
            4. zu jedem x auch das Inverse von x enthält

Hier also so:

1. U1 , U2 sind Untergruppen, enthalten

also beide das neutrale Element e, also auch e∈ U1 ∩ U2.

2. Seien x,y beide in U1 ∩ U2, also

x∈ U1 und   x∈ U2  und y∈ U1 und   y∈ U2

Da U1 und U2 abgeschlossen sind, folgt

x ◊ y ∈ U1   und x ◊ y ∈ U2   also x ◊ y ∈ U1∩ U2.

Also U1 ∩ U2 abgeschlossen gegenüber ◊.

etc.

Comments

Vielen herzlichen Dank für die Hilfe!