Zeigen Sie, dass H eine Untergruppe von (ℝ2 , +) ist.

Question

Aufgabe:

Sei H := { \( \begin{pmatrix} x₁\\x₂ \end{pmatrix} \)  ∈ ℝ² : x₁ + x₂ = 0}

Zeigen Sie, dass H eine Untergruppe von (ℝ² , +) ist.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe die Theorie, habe aber noch nie so einen Beweis durchgeführt und habe keinen Ansatz, wie man das korrekt ausführt.

Answer 1

Sei H := { \( \begin{pmatrix} x1\\x2 \end{pmatrix} \)  ∈ ℝ2 : x1 + x2 = 0}

Untergruppe ist eine Teilmenge einer Gruppe jedenfalls dann,

wenn sie  1. nicht leer ist
               2. abgeschlossen ist
               3. das neutrale Element und
               4. zu jedem x auch das Inverse von x enthält

zu 1.  \( \begin{pmatrix} 0\\0 \end{pmatrix} \) erfüllt jedenfalls die

Bedingung x1 + x2 = 0 , ist also in H

zu 2. Sind \( \begin{pmatrix} x1\\x2 \end{pmatrix} \) und x1 + x2 = 0, dann gilt x1 + x2 = 0 und  y1 + y2 = 0, also

auch  (x1+y1) + (x2+y2) = 0, also ist auch   \( \begin{pmatrix} x1+y1\\x2+y2 \end{pmatrix} \) in H,

also H abgeschlossen gegenüber +.

zu 3.  siehe 1

zu 4.  wenn x1 + x2 = 0 dann auch  -x1 + (-x2) = 0

Comments

Vielen Dank für die Hilfe, mathef! ♥