Mit Ableitungen rechnen

Question

Ableitungen?

F(x)= \( \frac{1}{x} \)

F(x)= \( \frac{1}{x^2} \)

F(x)= \( \frac{x^2}{x^5} \)

F(x)= \( \sqrt{x} \)

F(x)=\( \sqrt[3]{x} \)

F(x)= \( \sqrt[5]{x^2} \)

Ich habe einige Tage den Unterricht verpasst und ich versteh nicht genau wie man diese Aufgaben rechnet.

Könntet ihr den Rechnungsweg und den angewendeten Regel mitschreiben:))

Danke schonmal im voraus

Answer 1

Zuerst wendet man Potenzgesetze an. Dann schreibt man jede Potenz im Nenner als Potenz mit negativem Exponenten in den Zähler und jeden Wurzelexponenten als Nenner des Exponenten. Dann leitet man nach der Regel ab: f(x)=x^a ⇒ f '(x)=a·x^a-1 ab.

Answer 2

Es gilt: f(x) = x^r -> f '(x) = r*x^(r-1)

1/x = x^-1 -> f(x)= -1*x^(-1-1)= -1/x^2

1/x^2 = x^-2 -> -2/x^3

x^2/x^5 = 1/x^3 = x^-3 -> -3/x^4

√x = x^(1/2) -> 1/2*x^(-1/2) = 1/(2√x)

3. Wurzel x = x^(1/3) -> 1/3*x^(-2/3) = 1/(3*x^(2/3))

5. Wurzel aus x^2 = x^(2/5) -> 2/5*x^(-3/5) = 2/(5*x^(3/5))

https://www.ableitungsrechner.net/

Answer 3

Möglich ist auch der Weg über die Quotientenregel:

f(x)= \( \frac{1}{x^2} \)

\( \frac{d f(x)}{d x}=\frac{0 \cdot x^{2}-1 \cdot 2 x}{\left(x^{2}\right)^{2}}=-\frac{2}{x^{3}} \)