(i) U1 ∩ U2 ist Untergruppe von (G, ·),
Prüfe mit einem Untergruppenkriterium, etwa so
U1 ∩ U2 enthält das neutrale El. von G , weil es in beiden UG
vorhanden sein muss.
Und sind a und b aus U1 ∩ U2 dann ist auch a·b in U1 ∩ U2.
wegen der Abgeschlossenheit von U1 und von U2.
(ii) Ist U1 6⊆ U2 und U2 6⊆ U1, so ist U1 ∪ U2 keine Untergruppe von (G, ·).
Hinweis: Kann a · b in U1 ∪ U2 liegen, falls a ∈ U1 \ U2 und b ∈ U2 \ U1 gilt?
Seien a ∈ U1 \ U2 und b ∈ U2 \ U1 und nimm an a · b in U1 ∪ U2.
also a · b in U1 oder a · b in U2.
Beide Fälle führen auf einen Widerspruch. Etwa so
a ∈ U1 \ U2 und b ∈ U2 \ U1
==> a ∈ U1 und b ∉ U2 .
a ∈ U1 ==> a^(-1) ∈ U1 und a · b in U1
==> a^(-1) · a · b = b ∈ U1 Widerspruch!
