Berechnen Sie den Normal abstand des Punktes R(16|−8|10) von der Ebene ε!

Question

Gegeben ist die Ebene

Text erkannt:

\( \varepsilon: \vec{X}=\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 2\end{array}\right)+k \cdot\left(\begin{array}{l}1 \\ 4 \\ 0\end{array}\right)+\ell \cdot\left(\begin{array}{r}2 \\ 2 \\ -3\end{array}\right) \)

(a) Geben Sie eine Gleichung der Ebene ε in Normalform an!
(b) Spiegeln Sie den Punkt R(16|−8|10) an der Ebene ε!
Fertigen Sie dazu eine Skizze an, die Ihre Lösungsstrategie demonstriert! Eine Rechnung ohne Skizze bringt keine Punkte!
(c) Berechnen Sie den Normalabstand des Punktes R(16|−8|10) von der Ebeneε!
(d) Berechnen Sie den Winkel unter welchem die y-Achse die Ebene ε schneidet!

Answer 1

Wobei brauchst du denn genau Hilfe?

a) Geben Sie eine Gleichung der Ebene ε in Normalform an!

k·N = [1, 4, 0] ⨯ [2, 2, -3] = - 3·[4, -1, 2]

ε: (X - [1, 0, 2])·[4, -1, 2] = 0

Comments

c) Berechnen Sie den Normalabstand des Punktes R(16|−8|10) von der Ebeneε!

d = ([16, -8, 10] - [1, 0, 2])·[4, -1, 2]/|[4, -1, 2]| = 4·√21 = 18.33

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die Antwort von des Buches sagt:  4x-y+2z=8  aber diese ist nicht die Gleichung in Normalform, oder?

und ich brauche Hilfe mit B.

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4x - y + 2z = 8 ist die Gleichung in Koordinatenform. Die erhältst du wenn man die Normalform ausmultipliziert.

(X - [1, 0, 2])·[4, -1, 2] = 0
X·[4, -1, 2] - [1, 0, 2]·[4, -1, 2] = 0
X·[4, -1, 2] = [1, 0, 2]·[4, -1, 2]
4·x - y + 2·z = 8

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Der Ansatz für b) ist, Gerade durch R mit dem Normalenvektor aufstellen

X = [16, -8, 10] + r·[4, -1, 2] = [4·r + 16, -r - 8, 2·r + 10]

Und das in die Koordinatenform einsetzen

4·x - y + 2·z = 8
4·(4·r + 16) - (-r - 8) + 2·(2·r + 10) = 8 --> r = -4

Jetzt braucht man nur das doppelte von r in die Gerade einsetzen um den Spiegelpunkt zu erhalten.

R' = [16, -8, 10] - 8·[4, -1, 2] = [-16, 0, -6]