Zeigen Sie, dass f und g auf ihrem Definitionsbereich genau einen Schnittpunkt besitzen

Question

Aufgabe:

Seien f,g zwei Funktionen mit $$f(x)=-6x^2+3x+5$$ und $$g(x)=ln(x)$$.

Zeigen Sie, dass f und g auf ihrem Definitionsbereich genau einen Schnittpunkt besitzen, also genau ein x0 existiert mit f(x0)=g(x0).

Problem/Ansatz:

Ich soll iwie den Zwischenwertsatz benutzen.

Ich würde die Funktionen jetzt einfach gleichsetzen und nach x auflösen aber ich glaube das wäre falsch.

Wie gehe ich hier vor?

Answer 1

Definitionsbereich: D = R⁺

g(x) = f(x) → g(x) - f(x) = 0

d(x) = f(x) - g(x) = LN(x) - (- 6·x^2 + 3·x + 5) = LN(x) + 6·x^2 - 3·x - 5 = 0

Wir kümmern uns mal um die Monotonie

d'(x) = 1/x + 12·x - 3 = 0 → Keine Lösung und daher streng monoton steigend auf R⁺

lim (x → -∞) d(x) = -∞
lim (x → ∞) d(x) = ∞

Nach dem Zwischenwertsatz und der Monotonie gibt es jetzt genau eine Nullstelle von d und damit genau einen Schnittpunkt von f und g.

Answer 2

f: D = R

g: D = R+

Ich würde die Funktionen jetzt einfach gleichsetzen und nach x auflösen

Das wird dir nicht gelingen. Algebraisch geht das hier nicht.

https://de.serlo.org/mathe/2129/zwischenwertsatz

Comments

https://de.serlo.org/mathe/2129/zwischenwertsatz

Beachte das der Zwischenwertsatz eine Nullstelle garantiert aber nicht genau eine. Es könnten also auch mehr als eine sein. Das langt daher nicht. Siehe auch meine Antwort.

Answer 3

Hallo

1, skizziere die 2 Funktionen um den Schnittpunkt zu sehen.

2. wähle 2 Punkte, wo die Differenz mal positiv, mal negativ ist, damit hast du einen Schnittpunkt,

3. zeige dass die Differenz sonst immer ungleich 0 ist.weil f(x)<0 g(x)>0 bzw umgekehrt.

Die Gleichung f(x)-g(x)=0 analytisch zu lösen geht nicht.

eventuell kannst du e^g(x)=e^f(x) ansehen.

warum probierst du deinen Vorschlag nicht aus und siehst, dass das nicht geht? Oder überlegst dir wie man den ZWS anwenden kann? Immer erst selbst rumprobieren, bevor man Hilfe sucht!

Gruß lul