Zeigen Sie, dass f auf ihrem gesamten Definitionsbereich lokal invertierbar ist.

Question

Hallo ich habe folgende Aufgabe zu lösen..

Wir betrachten die Funktion f : R^2 \{(0,0)} → R^2 \{(0,0)} gegeben durch f(x,y) = 1/(x^2 +y^2) \( \begin{pmatrix} x\\y \end{pmatrix} \) . (a) Zeigen Sie, dass f auf ihrem gesamten Definitionsbereich lokal invertierbar ist. (b) Ist f auch global invertierbar? Falls ja, bestimmen Sie die Umkehrfunktion.

Bei a.) Bin ich klar gekommen. Da habe ich zunächst die Jacobi Matrix berechnet und mir davon dann die Determinante angeschaut.

Bei b.) Komme ich allerdings überhaupt nicht klar. Kann mir da bitte einer helfen?

Answer 1

Würde man (x,y)  in Polarkoordinaten schreiben, so wird jedem Punkt (r;φ) der Ebene durch die Funktion der Punkt (r ^-1;φ) zugeordnet. Es ist also eine Spiegelung am Einheitskreis.

Sagte ich "jedem Punkt"? Für den Ursprung funktioniert das nicht, aber der ist ja explizit ausgenommen.

Die Funktion erzeugt aus einem Punkt außerhalb des Einheitskreises einen Punkt innerhalb dieses Kreises und umgekehrt. Bei zweimaliger Anwendung erhalten wir wieder den Ausgangspunkt, also müsste die Funktion ihre eigene Umkehrfunktion sein.