Wie zeigt man, dass die Reihe (Summe von k=1 bis unendlich) k/(k^2+1) divergiert?

Question

Wie zeige ich, dass diese Reihe divergiert?

\( \sum \limits_{k=1}^{\infty} \frac{k}{k^{2}+1} \)

Ich habe es mit dem Minorantenkriterium probiert, allerdings ist k/k^2 (bzw. 1/k also die harmonische Reihe) größer als meine gegebene Reihe, somit kann ich das Minorantenkriterium anscheinend nicht anwenden. Kann man das auch irgendwie ohne Integral zeigen oder wenn nicht, wie zeigt man das mit einem Integral?

Answer 1

k/(k^2 + 1) ≥ k/(k^2 + k^2) = k/(2k^2) = 1/2 * 1/k

∑ (k = 1 bis ∞) k/(k^2 + 1) ≥ ∑ (k = 1 bis ∞) 1/2 * 1/k = 1/2 * ∑ (k = 1 bis ∞) 1/k

Rechts steht aber jetzt die harmonische Reihe die divergent ist. Auch die Hälfte ist Divergent. Damit ist auch unsere zu untersuchende Reihe divergent.

Comments

:) Alleine wäre ich aber vermutlich nicht auf die Abschätzung k/(k^2+k^2) gekommen. Habs zuerst mit 1/(k^2+1) probiert, aber das hat mich natürlich nicht weitergebracht. Gibt es da vielleicht irgendeinen Trick wie man am besten sieht wie man abschätzen soll oder entwickelt man da nur durch viel Übung ein Gefühl für?

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Ich musste leider auch etwas probieren. so ganz auf Anhieb hab ich das leider auch nicht gesehen.
Ich hatte also zunächst
k/(k^2 + 1) >= k/(k^2 + k) = 1/(k + 1) >= 1/(k + k) = 1/(2k)

Erst dann viel mir auf das man das hätte ja auch gleich erreichen können.

Wichtig ist das du nicht aufgibst und dich nicht entmutigen lässt und weiter probierst.